简介
Dieses Lehrbuch gibt eine Einf眉hrung in die partiellen Differenzialgleichungen. Wir beginnen mit einigen ganz konkreten Beispielen aus den Natur- Ingenieur und Wirtschaftswissenschaften. Danach werden elementare L枚sungsmethoden dargestellt, z.B. f眉r die Black-Scholes-Gleichung aus der Finanzmathematik. Schlie脽lich wird die analytische Untersuchung gro脽er Klassen von partiellen Differenzialgleichungen dargestellt, wobei Hilbert-Raum-Methoden im Mittelpunkt stehen. Alle hierzu ben枚tigten Hilfsmittel aus der Funktionalanalysis werden bereitgestellt. Wir fangen stets mit dem einfachsten Fall an (z.B. mit Sobolev-R盲umen in einer Dimension) und legen mehr Wert auf die Darstellung der Ideen als das bestm枚gliche Ergebnis. In vielen f眉r die Praxis relevanten F盲llen kann man keine explizite Formel f眉r die L枚sung einer partiellen Differenzialgleichung angeben. Man ist also auf effiziente, pr盲zise und robuste numerische Approximationsverfahren auf Computern angewiesen. Wir f眉hren in diese numerischen Verfahren ein und geben auch hier konkrete Beispiele. Dabei zeigen wir, welche analytischen Eigenschaften notwendige Voraussetzungen f眉r die Verwendung bestimmter Verfahren sind. So k枚nnen die Ergebnisse aus dem analytischen Teil direkt verwendet werden. Zu jedem Kapitel finden sich 脺bungsaufgaben, mit deren Hilfe der Stoff einge眉bt und vertieft werden kann. Dieses Buch richtet sich an Studierende im Bachelor oder im ersten Master-Jahr sowohl in der (Wirtschafts-)Mathematik als auch in den Studieng盲ngen Informatik, Physik und Ingenieurwissenschaften.
目录
Vorwort 5
Inhaltsverzeichnis 7
1 Modellierung oder wie man auf eine Differenzialgleichung kommt 10
1.1 Mathematische Modellierung 11
1.1.1 Modellierung mit partiellen Differenzialgleichungen 11
1.1.2 Modellierung ist nur der erste Schritt 12
1.2 Transportprozesse 13
1.2.1 Bilanzgleichungen 13
1.2.2 Von der Bilanzgleichung zur Differenzialgleichung 14
1.2.3 Die lineare Transportgleichung 15
1.2.4 Die Konvektions-Reaktions-Gleichung 16
1.2.5* Die Burgers-Gleichung 16
1.3 Diffusion 17
1.4 Die Wellengleichung 18
1.5 Die Black-Scholes-Gleichung 20
1.5.1 Grundlagen aus der Stochastik 21
1.5.2 Black-Scholes-Modell 22
1.5.3 Der faire Preis 23
1.6 Jetzt wird es mehrdimensional 26
1.6.1 Transportprozesse 26
1.6.2 Diffusions-Prozesse 27
1.6.3 Die Wellengleichung 28
1.6.4 Die Laplace-Gleichung 28
1.7* Es gibt noch mehr 31
1.7.1* Die KdV-Gleichung 31
1.7.2* Geometrische Differenzialgleichungen 32
Monge-Amp猫re-Gleichung 32
Die Minimalfl盲chengleichung 33
1.7.3* Die Plattengleichung 33
1.7.4* Navier-Stokes-Gleichungen 34
Inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen 35
1.7.5* Maxwell-Gleichungen 36
1.7.6* Die Schr枚dinger-Gleichung 37
1.8 Klassifikation partieller Differenzialgleichungen 37
1.9* Kommentare zu Kapitel 1 38
1.10 Aufgaben 39
2 Kategorisierung und Charakteristiken 41
2.1 Charakteristiken von Anfangswertproblemen auf R 42
2.1.1 Homogene Probleme 42
2.1.2 Inhomogene Probleme 48
2.1.3* Die Burgers-Gleichung 49
2.2 Gleichungen zweiter Ordnung 51
2.3* Nichtlineare Gleichungen zweiter Ordnung 55
2.4* Gleichungen h枚herer Ordnung und Systeme 56
2.5 Aufgaben 57
3 Elementare L枚sungsmethoden 60
3.1 Die eindimensionale Wellengleichung 61
3.1.1 Die L枚sungsformel von d\u2019Alembert auf R 脳 R 61
3.1.2 Die Wellengleichung auf einem Intervall 63
3.2 Fourier-Reihen 65
3.3 Die Laplace-Gleichung 72
3.3.1 Das Dirichlet-Problem auf dem Einheitsquadrat 72
3.3.2 Das Dirichlet-Problem auf der Kreisscheibe 74
Variablen-Transformation auf Polarkoordinaten 75
Trennung der Variablen 76
3.3.3 Das elliptische Maximumprinzip 78
3.3.4 Wohlgestelltheit des Dirichlet-Problems f眉r Quadrat und Kreis 80
3.4 Die W盲rmeleitungsgleichung 82
3.4.1 Trennung der Variablen 82
3.4.2 Das parabolische Maximumprinzip 84
3.4.3 Wohlgestelltheit des parabolischen Anfangs-Randwertproblems f眉r ein Intervall 87
3.4.4 Die W盲rmeleitungsgleichung im Rd 89
3.5 Die Black-Scholes-Gleichung 96
3.6 Integraltransformationen 102
3.6.1 Die Fourier-Transformation 102
Beispiele 103
Eigenschaften der Fourier-Transformation 104
Die Umkehrformel 106
L枚sung von Differenzialgleichungen mittels Fourier-Transformation 107
3.6.2* Die Laplace-Transformation 110
3.7 Ausblick 113
3.8 Aufgaben 115
4 Hilbert-R盲ume 118
4.1 Unit盲re R盲ume 119
4.2 Orthonormalbasen 122
4.3 Vollst盲ndigkeit 126
4.4 Orthogonale Projektionen 127
4.5 Linearformen und Bilinearformen 129
4.6 Schwache Konvergenz 133
4.7 Stetige und kompakte Operatoren 136
4.8 Der Spektralsatz 137
4.9* Kommentare zu Kapitel 4 145
4.10 Aufgaben 147
5 Sobolev-R盲ume und Randwertaufgaben in einer Dimension 149
5.1 Sobolev-R盲ume in einer Variablen 150
5.2 Randwertprobleme auf einem Intervall 158
5.2.1 Dirichlet-Randbedingungen 158
5.2.2 Neumann-Randbedingungen 160
5.2.3 Robin-Randbedingungen 161
5.2.4 Elliptische Gleichungen mit gemischten Randbedingungen 162
5.2.5 Unsymmetrische Differenzialoperatoren 165
5.3* Kommentare zu Kapitel 5 167
5.4 Aufgaben 167
6 Hilbert-Raum-Methoden f眉r elliptische Gleichungen 171
6.1 Regularisierung 172
6.2 Sobolev-R盲ume 眉ber 178
6.3 Der Raum 185
6.4 Die Verbandsoperationen auf 188
6.5 Die Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen 191
6.6 Sobolev-R盲ume und Fourier-Transformation 194
6.7 Lokale Regularit盲t 199
6.8 Inhomogene Dirichlet-Randbedingungen 204
6.9 Das Dirichlet-Problem 207
6.10 Elliptische Gleichungen mit Dirichlet-Randbedingungen 215
6.11 H2-Regularit盲t 217
6.12* Kommentare zu Kapitel 6 220
6.13 Aufgaben 221
7 Neumannund Robin-Randbedingungen 225
7.1 Der Satz von Gau脽 226
7.2 Beweis des Satzes von Gau脽 231
7.3 Die Fortsetzungseigenschaft 236
7.4 Die Poisson-Gleichung mit Neumann-Randbedingungen 241
7.5 Der Spursatz und Robin-Randbedingungen 244
7.6* Kommentare zu Kapitel 7 247
7.7 Aufgaben 248
8 Spektralzerlegung und Evolutionsgleichungen 251
8.1 Ein vektorwertiges Anfangswertproblem 252
8.2 Die W盲rmeleitungsgleichung: Dirichlet-Randbedingungen 255
8.3 Die W盲rmeleitungsgleichung: Robin-Randbedingungen 261
8.4 Die Wellengleichung 263
8.5 Inhomogene Evolutionsgleichungen 268
8.6* Kommentare zu Kapitel 8 274
8.7 Aufgaben 274
9 Numerische Verfahren 277
9.1 Finite Differenzen 279
9.1.1 FDM im eindimensionalen Fall 279
Randwertprobleme 279
Diskretisierung 280
Fehleranalysis 282
Numerische L枚sung und Experimente 286
9.1.2 FDM im zweidimensionalen Fall 288
Diskretisierung 288
Numerische L枚sung 290
9.2 Finite Elemente 293
9.2.1 Galerkin-Verfahren 293
9.2.2 Triangulierung und Approximation auf Dreiecken 295
9.2.3 Af.ne Funktionen auf einem Dreieck 296
9.2.4 Normen auf einem Dreieck 296
9.2.5 Transformation auf ein Referenzelement 298
9.2.6 Interpolation mit Finiten Elementen 301
9.2.7 Finite-Elemente-R盲ume 303
9.2.8 Das Poisson-Problem auf Polygonen 306
Eine L2-Absch盲tzung 308
Eine suboptimale L鈭?Absch盲tzung 309
9.2.9 Die Steifigkeitsmatrix und das lineare Gleichungssystem 310
9.2.10 Numerische Experimente 311
Eindimensionale Beispiele 311
Zweidimensionale Beispiele 313
9.3* Erg盲nzungen und Erweiterungen 315
9.4 Parabolische Probleme 317
9.4.1 Finite Differenzen 317
9.4.2 Finite Elemente 321
9.5* Kommentare zu Kapitel 9 328
9.6 Aufgaben 329
10 Maple oder manchmal hilft der Computer 332
10.1 Maple 333
10.1.1 Elementare Beispiele 333
10.1.2 L枚sung mittels Fourier-Transformation 334
10.1.3 Laplace-Transformation 337
10.1.4 Es geht auch numerisch 337
10.1.5 Funktionsauswertung 337
10.2 Aufgaben 338
Anhang 341
A.1 Banach-R盲ume und lineare Operatoren 341
A.2 Der Raum C(K) 343
A.3 Integration 343
Literaturverzeichnis 345
Personenregister 348
Symbolverzeichnis 350
Index 351
Inhaltsverzeichnis 7
1 Modellierung oder wie man auf eine Differenzialgleichung kommt 10
1.1 Mathematische Modellierung 11
1.1.1 Modellierung mit partiellen Differenzialgleichungen 11
1.1.2 Modellierung ist nur der erste Schritt 12
1.2 Transportprozesse 13
1.2.1 Bilanzgleichungen 13
1.2.2 Von der Bilanzgleichung zur Differenzialgleichung 14
1.2.3 Die lineare Transportgleichung 15
1.2.4 Die Konvektions-Reaktions-Gleichung 16
1.2.5* Die Burgers-Gleichung 16
1.3 Diffusion 17
1.4 Die Wellengleichung 18
1.5 Die Black-Scholes-Gleichung 20
1.5.1 Grundlagen aus der Stochastik 21
1.5.2 Black-Scholes-Modell 22
1.5.3 Der faire Preis 23
1.6 Jetzt wird es mehrdimensional 26
1.6.1 Transportprozesse 26
1.6.2 Diffusions-Prozesse 27
1.6.3 Die Wellengleichung 28
1.6.4 Die Laplace-Gleichung 28
1.7* Es gibt noch mehr 31
1.7.1* Die KdV-Gleichung 31
1.7.2* Geometrische Differenzialgleichungen 32
Monge-Amp猫re-Gleichung 32
Die Minimalfl盲chengleichung 33
1.7.3* Die Plattengleichung 33
1.7.4* Navier-Stokes-Gleichungen 34
Inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen 35
1.7.5* Maxwell-Gleichungen 36
1.7.6* Die Schr枚dinger-Gleichung 37
1.8 Klassifikation partieller Differenzialgleichungen 37
1.9* Kommentare zu Kapitel 1 38
1.10 Aufgaben 39
2 Kategorisierung und Charakteristiken 41
2.1 Charakteristiken von Anfangswertproblemen auf R 42
2.1.1 Homogene Probleme 42
2.1.2 Inhomogene Probleme 48
2.1.3* Die Burgers-Gleichung 49
2.2 Gleichungen zweiter Ordnung 51
2.3* Nichtlineare Gleichungen zweiter Ordnung 55
2.4* Gleichungen h枚herer Ordnung und Systeme 56
2.5 Aufgaben 57
3 Elementare L枚sungsmethoden 60
3.1 Die eindimensionale Wellengleichung 61
3.1.1 Die L枚sungsformel von d\u2019Alembert auf R 脳 R 61
3.1.2 Die Wellengleichung auf einem Intervall 63
3.2 Fourier-Reihen 65
3.3 Die Laplace-Gleichung 72
3.3.1 Das Dirichlet-Problem auf dem Einheitsquadrat 72
3.3.2 Das Dirichlet-Problem auf der Kreisscheibe 74
Variablen-Transformation auf Polarkoordinaten 75
Trennung der Variablen 76
3.3.3 Das elliptische Maximumprinzip 78
3.3.4 Wohlgestelltheit des Dirichlet-Problems f眉r Quadrat und Kreis 80
3.4 Die W盲rmeleitungsgleichung 82
3.4.1 Trennung der Variablen 82
3.4.2 Das parabolische Maximumprinzip 84
3.4.3 Wohlgestelltheit des parabolischen Anfangs-Randwertproblems f眉r ein Intervall 87
3.4.4 Die W盲rmeleitungsgleichung im Rd 89
3.5 Die Black-Scholes-Gleichung 96
3.6 Integraltransformationen 102
3.6.1 Die Fourier-Transformation 102
Beispiele 103
Eigenschaften der Fourier-Transformation 104
Die Umkehrformel 106
L枚sung von Differenzialgleichungen mittels Fourier-Transformation 107
3.6.2* Die Laplace-Transformation 110
3.7 Ausblick 113
3.8 Aufgaben 115
4 Hilbert-R盲ume 118
4.1 Unit盲re R盲ume 119
4.2 Orthonormalbasen 122
4.3 Vollst盲ndigkeit 126
4.4 Orthogonale Projektionen 127
4.5 Linearformen und Bilinearformen 129
4.6 Schwache Konvergenz 133
4.7 Stetige und kompakte Operatoren 136
4.8 Der Spektralsatz 137
4.9* Kommentare zu Kapitel 4 145
4.10 Aufgaben 147
5 Sobolev-R盲ume und Randwertaufgaben in einer Dimension 149
5.1 Sobolev-R盲ume in einer Variablen 150
5.2 Randwertprobleme auf einem Intervall 158
5.2.1 Dirichlet-Randbedingungen 158
5.2.2 Neumann-Randbedingungen 160
5.2.3 Robin-Randbedingungen 161
5.2.4 Elliptische Gleichungen mit gemischten Randbedingungen 162
5.2.5 Unsymmetrische Differenzialoperatoren 165
5.3* Kommentare zu Kapitel 5 167
5.4 Aufgaben 167
6 Hilbert-Raum-Methoden f眉r elliptische Gleichungen 171
6.1 Regularisierung 172
6.2 Sobolev-R盲ume 眉ber 178
6.3 Der Raum 185
6.4 Die Verbandsoperationen auf 188
6.5 Die Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen 191
6.6 Sobolev-R盲ume und Fourier-Transformation 194
6.7 Lokale Regularit盲t 199
6.8 Inhomogene Dirichlet-Randbedingungen 204
6.9 Das Dirichlet-Problem 207
6.10 Elliptische Gleichungen mit Dirichlet-Randbedingungen 215
6.11 H2-Regularit盲t 217
6.12* Kommentare zu Kapitel 6 220
6.13 Aufgaben 221
7 Neumannund Robin-Randbedingungen 225
7.1 Der Satz von Gau脽 226
7.2 Beweis des Satzes von Gau脽 231
7.3 Die Fortsetzungseigenschaft 236
7.4 Die Poisson-Gleichung mit Neumann-Randbedingungen 241
7.5 Der Spursatz und Robin-Randbedingungen 244
7.6* Kommentare zu Kapitel 7 247
7.7 Aufgaben 248
8 Spektralzerlegung und Evolutionsgleichungen 251
8.1 Ein vektorwertiges Anfangswertproblem 252
8.2 Die W盲rmeleitungsgleichung: Dirichlet-Randbedingungen 255
8.3 Die W盲rmeleitungsgleichung: Robin-Randbedingungen 261
8.4 Die Wellengleichung 263
8.5 Inhomogene Evolutionsgleichungen 268
8.6* Kommentare zu Kapitel 8 274
8.7 Aufgaben 274
9 Numerische Verfahren 277
9.1 Finite Differenzen 279
9.1.1 FDM im eindimensionalen Fall 279
Randwertprobleme 279
Diskretisierung 280
Fehleranalysis 282
Numerische L枚sung und Experimente 286
9.1.2 FDM im zweidimensionalen Fall 288
Diskretisierung 288
Numerische L枚sung 290
9.2 Finite Elemente 293
9.2.1 Galerkin-Verfahren 293
9.2.2 Triangulierung und Approximation auf Dreiecken 295
9.2.3 Af.ne Funktionen auf einem Dreieck 296
9.2.4 Normen auf einem Dreieck 296
9.2.5 Transformation auf ein Referenzelement 298
9.2.6 Interpolation mit Finiten Elementen 301
9.2.7 Finite-Elemente-R盲ume 303
9.2.8 Das Poisson-Problem auf Polygonen 306
Eine L2-Absch盲tzung 308
Eine suboptimale L鈭?Absch盲tzung 309
9.2.9 Die Steifigkeitsmatrix und das lineare Gleichungssystem 310
9.2.10 Numerische Experimente 311
Eindimensionale Beispiele 311
Zweidimensionale Beispiele 313
9.3* Erg盲nzungen und Erweiterungen 315
9.4 Parabolische Probleme 317
9.4.1 Finite Differenzen 317
9.4.2 Finite Elemente 321
9.5* Kommentare zu Kapitel 9 328
9.6 Aufgaben 329
10 Maple oder manchmal hilft der Computer 332
10.1 Maple 333
10.1.1 Elementare Beispiele 333
10.1.2 L枚sung mittels Fourier-Transformation 334
10.1.3 Laplace-Transformation 337
10.1.4 Es geht auch numerisch 337
10.1.5 Funktionsauswertung 337
10.2 Aufgaben 338
Anhang 341
A.1 Banach-R盲ume und lineare Operatoren 341
A.2 Der Raum C(K) 343
A.3 Integration 343
Literaturverzeichnis 345
Personenregister 348
Symbolverzeichnis 350
Index 351
- 名称
- 类型
- 大小
光盘服务联系方式: 020-38250260 客服QQ：4006604884
云图客服：
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