Functional analysis

第1章　线性空间　1　

第2章　线性映射　7　

2.1　线性映射生成的代数　7　

2.2　线性映射的指标　10　

第3章　hahn-banach定理　16　

3.1　延拓定理　16　

3.2　hahn-banach定理的几何形式　17　

3.3　hahn-banach定理的延拓　20　

第4章　hahn-banach定理的应用　24　

4.1　正线性泛函的延拓　24　

4.2　banach极限　25　

4.3　有限可加的不变集函数　27　

第5章　赋范线性空间　29　

5.1　范数　29　

5.2　单位球的非紧性　34　

5.3　等距　37　

第6章　hilbert空间　42　

6.1　内积　42　

6.2　闭凸集中的最佳逼近点　44　

6.3　线性泛函　45　

.6.4　线性张　47　

第7章　hilbert空间结果的应用　51　

7.1　radon-nikodym定理　51　

7.2　dirichlet问题　52　

第8章　赋范线性空间的对偶　59　

8.1　有界线性泛函　59　

8.2　有界线性泛函的延拓　60　

8.3　自反空间　63　

8.4　集合的支撑函数　67　

第9章　对偶性的应用　71　

9.1　加权幂的完备性　71　

9.2　m.untz逼近定理　72　

9.3　runge定理　74　

9.4　函数论中的对偶变分问题　75　

9.5　green函数的存在性　77　

第10章　弱收敛　81　

10.1　弱收敛序列的一致有界性　82　

10.2　弱序列紧性　85　

10.3　弱*收敛　86　

第11章　弱收敛的应用　88　

11.1　用连续函数逼近δ函数　88　

11.2　傅里叶级数的发散性　89　

11.3　近似求积分　90　

11.4　向量值函数的弱解析性和强解析性　90　

11.5　偏微分方程解的存在性　91　

11.6　具有正实部的解析函数的表示　94　

第12章　弱拓扑和弱*拓扑　96　

第13章　局部凸空间拓扑和krein-milman定理　100　

13.1　通过线性泛函分离点　101　

13.2　krein-milman定理　102　

13.3　stone-weierstrass定理　103　

13.4　choquet定理　104

第14章　凸集及其极值点的例子　109　

14.1　正线性泛函　109　

14.2　凸函数　110　

14.3　完全单调函数　112　

14.4　carathéodory和bochner定理　116　

14.5　krein的一个定理　120　

14.6　正调和函数　121　

14.7　hamburger矩问题　122　

14.8　gbirkho猜测　123　

14.9　de finetti定理　127　

14.10　保测映射　128　

第15章　有界线性映射　131　

15.1　有界性和连续性　131　

15.2　强拓扑和弱拓扑　135　

15.3　一致有界原理　136　

15.4　有界线性映射的复合　137　

15.5　开映射原理　137　

第16章　有界线性映射的例子　142　

16.1　积分算子的有界性　142　

16.2　marcel riesz凸性定理　145　

16.3　有界积分算子的例子　147　

16.4　双曲方程的解算子　152　

16.5　热传导方程的解算子　153　

16.6　奇异积分算子，拟微分算子和fourier积分算子　156　

第17章　banach代数及其基本谱理论　157　

17.1　赋范代数　157　

17.2　函数演算　161　

第18章　交换banach代数的gelfand理论　165　

第19章　交换banach代数的gelfand理论的应用　171　

19.1　代数c(s)　171　

19.2　gelfand紧化　171　

19.3　绝对收敛的fourier级数　172　

19.4　闭单位圆盘上的解析函数　173　

19.5　开单位圆盘内的解析函数　174　

19.6　wiener的陶伯定理　175　

19.7　交换的b*代数　180　

第20章　算子及其谱的例子　184　

20.1　可逆映射　184　

20.2　移位　186　

20.3　volterra积分算子　187　

20.4　fourier变换　188　

第21章　紧映射　189　

21.1　紧映射的基本性质　189　

21.2　紧映射的谱理论　193　

第22章　紧算子的例子　199　

22.1　紧性的判别准则　199　

22.2　积分算子　200　

22.3　椭圆偏微分算子的逆　202　

22.4　由抛物型方程定义的算子　203　

22.5　殆正交基　204　

第23章　正的紧算子　206　

23.1　正的紧算子的谱　206　

23.2　随机积分算子　208　

23.3　二阶椭圆算子的逆　210　

第24章　积分方程的fredholm理论　212　

24.1　fredholm行列式和fredholm预解式　212　

24.2　fredholm行列式的乘法性质　219　

24.3　gelfand-levian-marchenko方程和dyson的公式　221　

第25章　不变子空间　225　

25.1　紧算子的不变子空间　225

25.2　不变子空间套　227　

第26章　射线上的调和分析　233　

26.1　调和函数的phragmén-lindel?f原理　233　

26.2　抽象phragmén-lindel?f原理　234　

26.3　渐进展开　243　

第27章　指标理论　246　

27.1　noether指标　246　

27.2　toeplitz算子　250　

27.3　hankel算子　256　

第28章　hilbert空间上的紧对称算子　259　

第29章　紧对称算子的例子　266　

29.1　卷积　266　

29.2　一个微分算子的逆　268　

29.3　偏微分算子的逆　269　

第30章　迹类和迹公式　271　

30.1　极分解与奇异值　271　

30.2　迹类，迹范数，迹　272　

30.3　迹公式　275　

30.4　行列式　281　

30.5　迹类算子的例子和反例　282　

30.6　poisson和公式　287　

30.7　如何将算子的指标表示成迹的差　288　

30.8　hilbert-schmidt类　290　

30.9　banach空间上的算子的迹和行列式　291　

第31章　对称算子、正规算子和酉算子的谱理论　293　

31.1　对称算子的谱　294　

31.2　对称算子的函数演算　296　

31.3　对称算子的谱分解　298　

31.4　绝对连续谱、奇异谱和点谱　300　

31.5　对称算子的谱表示　301　

31.6　正规算子的谱分解　305　

31.7　酉算子的谱分解　306　

第32章　自伴算子的谱理论　311　

32.1　谱分解　311　

32.2　利用cayley变换构造谱分解　320　

32.3　自伴算子的函数演算　321　

第33章　自伴算子的例子　325　

33.1　无界对称算子的延拓　325　

33.2　对称算子延拓的例子，亏指数　327　

33.3　friedrichs延拓　331　

33.4　rellich扰动定理　334　

33.5　矩问题　337　

第34章　算子半群　343　

34.1　强连续的单参数半群　344　

34.2　半群的构造　349　

34.3　半群的逼近　352　

34.4　半群的扰动　356　

34.5　半群的谱理论　358　

第35章　酉算子群　363　

35.1　stone定理　363　

35.2　遍历理论　365　

35.3　koopman群　367　

35.4　波动方程　369　

35.5　平移表示　370　

35.6　heisenberg交换关系　376　

第36章　强连续算子半群的例子　382　

36.1　由抛物型方程定义的半群　382　

36.2　由椭圆型方程定义的半群　382　

36.3　半群的指数型衰减　386　

36.4　lax-phillips半群　390

36.5　障隘外部的波动方程　391　

第37章　散射理论　395　

37.1　扰动理论　395　

37.2　波算子　397　

37.3　波算子的存在性　399　

37.4　波算子的不变性　406　

37.5　位势散射　406　

37.6　散射算子　407　

37.7　lax-phillips散射理论　408　

37.8　散射矩阵的零点　414　

37.9　自守波动方程　415　

第38章　beurling定理　426　

38.1　hardy空间　426　

38.2　beurling定理　427　

38.3　titchmarsh卷积定理　434　

附录　a riesz-kakutani表示定理　439　

a.1　正线性泛函　439　

a.2　体积　442　

a.3　函数空间l　444　

a.4　可测集和测度　446　

a.5　lebesgue测度和积分　450　

附录　b广义函数理论　451　

b.1　定义和例子　451　

b.2　广义函数的运算　452　

b.3　广义函数的局部性质　454　

b.4　在偏微分方程中的应用　460　

b.5　fourier变换　464　

b.6　fourier变换的应用　472　

b.7　fourier级数　473　

附录　c zorn引理　475　

关键词索引　476