简介
本书共二十章，分为初等微积分和高等微积分两个部分，可作为理工科各专业高等数学或数学分析课程教材。
前十五章为初等微积分部分，讲述了标准的一元和多元函数的微分、积分及解微分方程，内容包括数列、函数、积分和数八种极限概念及运算法则，极限存在准则与重要极限例子；连续与间断概念及连续函数重要性质；导数、偏导数、微分概念及有关的几个微分中值定理；微分学对函数研究和解实际问题的应用；定积分、重积分、线面积分及其计算，四个重要的微积分基本定理（newton-leibnitz、green、gauss、stokes）；积分统一处理古典几何、力学计算及对解实际问题的应用；三个场算子的计算与实际应用；一阶微分方程初等解法；二阶线性微分方程一般理论与幂级数解法；常系数线性微分方程与方程组的解法；微分方程的实际应用等等。
后五章为高等微积分部分，讲述了实数完备性的几个等价描述与极限理论、连续函数理论之完成；riemann可积性的darboux理论；函数序列、函数级数、含参变量积分的一致收敛性概念，其判别及对极限交换次序等的应用；fourier分析级数部分的基本知识（点点收敛、一致收敛、平均收敛、函数的fourier展开、三角函数系的完备、gibbs现象）。通过这部分内容的学习使读者在向实分析、拓扑、泛函分析等现代数学领域提升时不致感到很吃力。
本书没有集中的级数篇，而是突出了级数用来研究函数的工具功能，把它分散在有关章节里，这样目的明确，也使相关课题展开得更完整。此外，polya合情推理的使用，使得课程展开更为自然，同时还设计了七个数学实验，使读者能通过实验模仿polya的方法，体验一下发现模式、提出规律、证实猜想的研究感觉。
目录
目录
第1篇 引论
第1章 极限
1.1 函数
1.1.1 变量
1.1.2 函数
1.1.3 函数的几何表示(函数的图形)
1.1.4 函数的运算
1.1.5 反函数
1.1.6 特殊的函数类
1.1.7 初等函数
习题1.1
1.2 数列的极限
习题1.2
1.3 数列极限的运算法则
习题1.3
1.4 数列极限存在的准则，几个重要极限
习题1.4
1.5 数项级数
习题1.5
1.6 非负级数与变号级数
1.6.1 非负级数
1.6.2 变号级数
习题1.6
1.7 函数的极限
1.7.1 六种连续变化的基本极限过程
1.7.2 函数极限的定义
1.7.3 极限的性质
1.7.4 极限的运算法则
1.7.5 函数极限的存在准则，几个重要极限
习题1.7
1.8 无穷小量与无穷大量
1.8.1 无穷小量
1.8.2 无穷大量
习题1.8
1.9 无穷小量与无穷大量的阶
习题1.9
数学实验1 数列的极限
数学实验2 函数的极限
第2章 连续函数
2.1 连续与间断
习题2.1
2.2 闭区间上连续函数的性质
习题2.2
2.3 连续函数的运算，初等函数的连续性
习题2.3
2.4 一致连续性
习题2.4
数学实验3 连续函数
第2篇 一元函数的微积分
第3章 导数与微分
3.1 导数概念
3.1.1 非匀速运动物体的瞬时速度
3.1.2 非均匀棒的局部密度
3.1.3 导数的定义
3.1.4 求导数举例
3.1.5 导数的几何意义
3.1.6 导数存在问题，可导与连续的关系
习题3.1
3.2 求导法则
习题3.2
3.3 隐函数和由参数方程确定的函数的导数
3.3.1 隐函数及其求导
3.3.2 由参数方程确定的函数的求导
习题3.3
3.4 微分
习题3.4
3.5 高阶导数与高阶微分
习题3.5
第4章 微分学基本定理
4.1 微分中值定理
习题4.1
4.2 Taylor公式
习题4.2
4.3 L'Hospital法则
习题4.3
4.4 幂级数及函数的幂级数展开式
4.4.1 幂级数
4.4.2 函数的幂级数展开式及其应用
习题4.4
第5章 微分学对函数研究的应用
5.1 函数单调性的判别
习题5.1
5.2 函数的极值
5.2.1 局部极值与整体极值
5.2.2 局部极值点的必要条件与充分条件
5.2.3 关于整体极值
习题5.2
5.3 函数的凹、凸与扭转
习题5.3
5.4 函数作图
5.4.1 垂直渐近线
5.4.2 水平渐近线
5.4.3 斜渐近线
习题5.4
5.5 曲率与曲率圆
5.5.1 弧微分公式
5.5.2 平面曲线的曲率
5.5.3 密切圆
习题5.5
5.6 非线性方程的近似解
5.6.1 弦位法
5.6.2 Newton法
5.6.3 综合法
习题5.6
5.7 微分学应用举例
5.7.1 光的反射与折射定律
5.7.2 极坐标方程表示的曲线的作图
5.7.3 森林砍伐的最佳时机
数学实验4 线性函数的迭代
数学实验5 求解方程的迭代方法
第6章 Riemann积分
6.1 Riemann积分的概念
6.2 积分存在的条件
习题6.2
6.3 积分的性质
习题6.3
6.4 Newton-leibnitz公式(微积分基本定理)
习题6.4
6.5 Riemann积分的等价定义
第7章 Riemann积分的计算
7.1 原函数与不定积分的简单计算
7.1.1 基本积分表
7.1.2 简单的积分法则
习题7.1
7.2 换元公式
习题7.2
7.3 分部积分公式
习题7.3
7.4 特殊函数类的不定积分
7.4.1 有理函数的积分
7.4.2 三角函数有理式的积分
7.4.3 简单无理函数的积分
习题7.4
7.5 不能用初等函数表示的积分
习题7.5
7.6 定积分的近似计算
7.6.1 矩形公式
7.6.2 梯形公式
7.6.3 Simpson公式
习题7.6
7.7 广义积分
7.7.1 广义积分的收敛与发散
7.7.2 广义积分的收敛判别法
7.7.3 再论非负级数的敛散
习题7.7
7.8 Newton二项式展开在收敛圆端点的敛散性
数学实验6 调和级数与Euler常数γ
数学实验7 数值积分
第8章 积分应用(一)——经典问题的统一处理
8.1 几何应用
8.1.1 平面图形的面积
8.1.2 曲线的弧长
习题8.1(1)
8.1.3 立体的体积
8.1.4 旋转体的侧面积
习题8.1(2)
8.2 力学、物理中的应用
8.2.1 重心坐标
8.2.2 功的计算
8.2.3 流体压力
8.2.4 函数的平均值
8.2.5 其它应用
习题8.2
第9章 积分应用(二)——常微分方程初等解法
9.1 例子与基本概念
9.1.1 现实生活中的常微分方程
9.1.2 一些基本概念
习题9.1
9.2 一阶常微分方程的初等解法
9.2.1 变量分离的方程
9.2.2 齐次方程
习题9.2(1)
9.2.3 一阶线性方程
习题9.2(2)
9.3 求解高阶常微分方程的降阶法
习题9.3
附录1 通用数学符号
附录2 希腊字母表
附录3 George Polya的“怎样解题”表
附录4 科学家人名对照
q .x
第1篇 引论
第1章 极限
1.1 函数
1.1.1 变量
1.1.2 函数
1.1.3 函数的几何表示(函数的图形)
1.1.4 函数的运算
1.1.5 反函数
1.1.6 特殊的函数类
1.1.7 初等函数
习题1.1
1.2 数列的极限
习题1.2
1.3 数列极限的运算法则
习题1.3
1.4 数列极限存在的准则，几个重要极限
习题1.4
1.5 数项级数
习题1.5
1.6 非负级数与变号级数
1.6.1 非负级数
1.6.2 变号级数
习题1.6
1.7 函数的极限
1.7.1 六种连续变化的基本极限过程
1.7.2 函数极限的定义
1.7.3 极限的性质
1.7.4 极限的运算法则
1.7.5 函数极限的存在准则，几个重要极限
习题1.7
1.8 无穷小量与无穷大量
1.8.1 无穷小量
1.8.2 无穷大量
习题1.8
1.9 无穷小量与无穷大量的阶
习题1.9
数学实验1 数列的极限
数学实验2 函数的极限
第2章 连续函数
2.1 连续与间断
习题2.1
2.2 闭区间上连续函数的性质
习题2.2
2.3 连续函数的运算，初等函数的连续性
习题2.3
2.4 一致连续性
习题2.4
数学实验3 连续函数
第2篇 一元函数的微积分
第3章 导数与微分
3.1 导数概念
3.1.1 非匀速运动物体的瞬时速度
3.1.2 非均匀棒的局部密度
3.1.3 导数的定义
3.1.4 求导数举例
3.1.5 导数的几何意义
3.1.6 导数存在问题，可导与连续的关系
习题3.1
3.2 求导法则
习题3.2
3.3 隐函数和由参数方程确定的函数的导数
3.3.1 隐函数及其求导
3.3.2 由参数方程确定的函数的求导
习题3.3
3.4 微分
习题3.4
3.5 高阶导数与高阶微分
习题3.5
第4章 微分学基本定理
4.1 微分中值定理
习题4.1
4.2 Taylor公式
习题4.2
4.3 L'Hospital法则
习题4.3
4.4 幂级数及函数的幂级数展开式
4.4.1 幂级数
4.4.2 函数的幂级数展开式及其应用
习题4.4
第5章 微分学对函数研究的应用
5.1 函数单调性的判别
习题5.1
5.2 函数的极值
5.2.1 局部极值与整体极值
5.2.2 局部极值点的必要条件与充分条件
5.2.3 关于整体极值
习题5.2
5.3 函数的凹、凸与扭转
习题5.3
5.4 函数作图
5.4.1 垂直渐近线
5.4.2 水平渐近线
5.4.3 斜渐近线
习题5.4
5.5 曲率与曲率圆
5.5.1 弧微分公式
5.5.2 平面曲线的曲率
5.5.3 密切圆
习题5.5
5.6 非线性方程的近似解
5.6.1 弦位法
5.6.2 Newton法
5.6.3 综合法
习题5.6
5.7 微分学应用举例
5.7.1 光的反射与折射定律
5.7.2 极坐标方程表示的曲线的作图
5.7.3 森林砍伐的最佳时机
数学实验4 线性函数的迭代
数学实验5 求解方程的迭代方法
第6章 Riemann积分
6.1 Riemann积分的概念
6.2 积分存在的条件
习题6.2
6.3 积分的性质
习题6.3
6.4 Newton-leibnitz公式(微积分基本定理)
习题6.4
6.5 Riemann积分的等价定义
第7章 Riemann积分的计算
7.1 原函数与不定积分的简单计算
7.1.1 基本积分表
7.1.2 简单的积分法则
习题7.1
7.2 换元公式
习题7.2
7.3 分部积分公式
习题7.3
7.4 特殊函数类的不定积分
7.4.1 有理函数的积分
7.4.2 三角函数有理式的积分
7.4.3 简单无理函数的积分
习题7.4
7.5 不能用初等函数表示的积分
习题7.5
7.6 定积分的近似计算
7.6.1 矩形公式
7.6.2 梯形公式
7.6.3 Simpson公式
习题7.6
7.7 广义积分
7.7.1 广义积分的收敛与发散
7.7.2 广义积分的收敛判别法
7.7.3 再论非负级数的敛散
习题7.7
7.8 Newton二项式展开在收敛圆端点的敛散性
数学实验6 调和级数与Euler常数γ
数学实验7 数值积分
第8章 积分应用(一)——经典问题的统一处理
8.1 几何应用
8.1.1 平面图形的面积
8.1.2 曲线的弧长
习题8.1(1)
8.1.3 立体的体积
8.1.4 旋转体的侧面积
习题8.1(2)
8.2 力学、物理中的应用
8.2.1 重心坐标
8.2.2 功的计算
8.2.3 流体压力
8.2.4 函数的平均值
8.2.5 其它应用
习题8.2
第9章 积分应用(二)——常微分方程初等解法
9.1 例子与基本概念
9.1.1 现实生活中的常微分方程
9.1.2 一些基本概念
习题9.1
9.2 一阶常微分方程的初等解法
9.2.1 变量分离的方程
9.2.2 齐次方程
习题9.2(1)
9.2.3 一阶线性方程
习题9.2(2)
9.3 求解高阶常微分方程的降阶法
习题9.3
附录1 通用数学符号
附录2 希腊字母表
附录3 George Polya的“怎样解题”表
附录4 科学家人名对照
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微积分.上
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