非线性问题的数学方法及其应用

第一章 lie变换群和相似解

1．1 单参数变换群

1．变换群的无穷小形式．经典坐标

2．不变曲线，不变函数，lie级数

练习1. 1

1．2 一阶方程

1．线性方程

练习1．2

2．变换群与积分因子

练习1．3

1．3 一阶pde的不变性

练习1. 4

1．4 二阶及高阶方程

1．二阶方程

2．平面点变换的延拓(扩充，extended)

练习1．5

3．微分不变量与方程的降阶

1．5 应用举例

练习1．6

1. 6 线性偏微分方程

.1. 一维扩散方程的opg

2．二阶延拓，点变换的lie代数

3．扩散方程的相似解

练习1．7

4．扩散方程的初、边值问题

5．fokker-planck方程

练习1．8

1．7 非线性偏微分方程

1．高阶延拓

2．非线性扩散方程

练习1．9

3．burgers方程和kdv方程

练习1. 10

1．8 便于工程上应用的直接方法

1．变量分离法

2．量纲分析法

3．birkhoff--morgan方法

第二章 定性理论(几何方法)

2．1 基本概念和例子

1．相空间，轨线

2．临界点

3．线性化

4．周期解

5．首次积分和积分流形

练习2．1

2．2 线性系统

1．解的稳定性

练习2．2

2．二维常系数系统奇点分类

练习2．3

2．3非线性系统

练习2．4

2．4 极限环

练习2．5

第三章 渐近分析和摄动法

3．1 线性方程的近似解

1．奇点分类

2．解的局部行为

练习3．1

3．主项平衡法

4．渐近幂级数

练习3．2

3．2非线性方程

1．概述

2．painleve性质

3．奇性分析

练习3．3

3．3正则摄动法

3．4 奇异摄动法

1．多重尺度法

2．p-l方法及推广

练习3．4

第四章 孤立子、混沌和分形几何简介

4．1 kdv方程和孤立子(soliton)

1．kdv方程的由来

2．kdv方程的孤立波解

3．孤立波的相互作用和孤立子

4．2 混沌(chaos)动力学

4．3 分形几何

附录 量纲分析与常用量纲系统

参考文献