高等代数学[电子资源.图书]

内容提要 本书主要内容为线性代数，包括数与多项式，行列式，线性方程组，矩阵，线性空间，二次型，线性变 换，空间分解，矩阵相似，欧空间和酉空间，双线性型，张量积与外积等。内容较深厚，便于打下优势基础； 观点较新，便于适应现代数学。还有若干较深选读内容。可作为高校数学专业或计算机等专业的教材或 供其它专业参阅。本书成书于作者长期在中国科学技术大学和清华大学讲授此课及从事代数学方面的 研究工作，编写时参阅了国外若干著名教材。书中配有难易不等的丰富例题与习题，书后有答案与提示， 附录，中英文名词索引，及参考书目。 片断： 事实上，由a－1＝e*a－1＝（a－1*a）*a－1＝a－1*（a*a－1*），两边在左方均再乘以 （a－1）－1即得e＝a*a－1.又显然有a*e＝a*（a－1*a）＝（a*a－1）*a＝e*a。 如果群（G，*）还满足交换律，即a*b＝b*a对任意a，b∈G成立，则该群称为Abel 群或交换群.Abel群的运算经常记为加法（用十代替*作为运算符），恒元常记为0称为 零元a的逆元常记为－a称为a的负元。 例1.1（Z，十），（Q，十），（R，＋），（C，十）均为Abel群，这里加法（十）均指普通数的 加法。 定义1.2一个环（ring）是一个集合R，其中定义了两个二元运算，分别记为加法 （十）和乘法（·），且满足： （1）（R，十）是Abel群； （2）（R，·）是半群，即满足封闭性和结合律； （3）分配律a·（b十c）＝a·b十a·c，（a十b）·c＝a·c十b·c 对任意a，b，∈R成立］。 上述环记为（R，十，·）或R，乘号·常省去而记a·b为ab，加法零元常记为0.注意 0·a＝a·0＝0对任意a∈R成立，事实上，Oa＝（0十0）a＝0a十0a，即得0a＝0. 如果环R对乘法有恒元e，则称R为含幺环。在含幺环R中，对c∈R，若存在x∈R 使得xc＝cx＝e，则称x为c的逆元，称c是可逆的（或称c为R的单位），如果一个环R中 乘法满足交换律，则称R为交换环。 定义1.3一个域（field）即是一个环（F，十，·），且要求F的非0元全体F对乘法 是AbeL群。详言之，域即是有两个二元运算（十）和（·）的集合F，且满足 （1）（F，十）是Abel群； （2）（F，·）是Abel群； （3）分配律。 例1.2（z，＋，·）是环，称为整数环，这是很重要的一个环（这里运算是普通加法和 乘法）。 例1.3Q，R，C对通常加法和乘法均是域，分别称为有理数域，实数域，和复数域。 这是常用到的也是最重要的域。 例1.4Q（）＝｛a＋ba，b∈Q｝是域。 若域F的子集合K对于F中的原运算仍是一个域，则称K是F的子域，F是K的 扩域。类似有子群、子环的定义。 复数域C的子域被称作数域，上述三例中的域均是数域，数域有很多（无穷多个），是 重要的域。注意任一数域中总含有自然数1，从而含有Z，从而含有Q故有理数域Q是最 小的数域，是任一数域的子域，数域以外的域也有很多（无穷多个），且很重要，下例即是信 息编码中很重要的“二元域”： 例1.5F2＝｛ō，ī｝对于如下定义的加法和乘法是域：ō＋ō＝ō，ō＋ī＝ī＋ō＝ī 今后常以0和1分别记一个域F中的加法和乘法单位元。高等代数学中要经常以一 个域F为基础，研究F上的函数、多项式、向量等.比较早期的初等教程中常设基础域F 为实数域R.本书的大部分论述是在一般的基础域F上展开，以适应数学进一步发展的 理论需要和计算机信息通信等多方面的实际应用需求.对一般的域F，我们常常把其中的 元素称为数（虽然并不一定是复数或实数），这是相对于F上的多项式和向量等而言的. *1.2整数的同余与同余类 整数环Z的一个重要性质是可进行带余除法，即若m，n∈Z且m≠0，则必存在 q，r∈Z使得 n＝mq＋r，且0≤r＜｜m｜； 这里q称为n除以m的商，称为余数.若r＝0，则称m整除n记为m｜n.由Z的带余 除法性质可导出Z的许多其它性质，例如算术基本定理（即任一整数可唯一分解为素数 之积，将在1.6节中证明，本节利用此性质讨论整数的同余）. 若整数a与b除以m的余数相同，则称a与b对模m同余（congruentmodu1om），记 为 α≡b（modm）， 这恰相当于ma－b，也恰相当于a＝b十mk对某k∈Z成立.符号“≡”称为同余号，读为 “同余于”，上面的表达式称为同余式（congruence）.同余与相等有如下类似性质（对任意 a，b，c，d∈Z）： 1.（传递性）若a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）. 2.（对称性）若a≡b（modm），则b≡a（modm）. 3.（反身性）总有a≡a（modm） 4.（同余式相加）若a≡b（modm），c≡d（modm），则a＋c≡b＋d（modm）. 5.（同余式相乘）若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac≡bd（modm）. 6.（同余式约化）（1）若a≡b（modm），且d｜a，d｜b，d与m互素则 a≡b（modm）. （2）若a≡b（modm）且d为a，b，m的公因子，则 a/d≡b/d（modm/d）. 同余概念首先由高斯（Gauss）引入，有重要的意义.模数m通常取为正整数. 例1.6（弃九法）记正整数a的十进位表示的各位数字之和除以9的余数为a.例如 72982＝1.则“弃九法”断言，若a×b＝c则a×b＝c；若a十b＝c则a十b＝c。这可用来初检 运算的正确性.例如对729822＝5326372334，因右方弃九后为2，可知等式有误，为了证明 弃九法，只需注意10≡1（mod9），故若a的十进位表示为a＝an10n”十…十a110十a0，则a≡ an＋…＋a1＋a0≡a（mod9）.故若ab＝c，则应有ab≡c（mod9），此即弃九法. .