简介
分数微积分与分数微分方程发端于1695年leibniz和l，hosital的通信对话，亦即315年前已提出变元增量为非整数次幂时相关的极限问题．所以，这里说的积分的次数与微分的阶数不一定是整数，而可以是任意实数甚至是复数的情形，但此后到1812年的一百多年间，虽然有euler，bernoulli等一大批数学家的关注，分数微积分与分数微分方程仍然只是数学界的一些议论和猜测而已．自从1812年lalace用积分定义一个分数的导数开始到1974年间才有许多背景促进了陆陆续续的局部研究，并取得一些进展，其中riemann引?的定义沿用至今。
本分支系统而快速的发展是因为1974年以来由极其广泛的应用背景推动的．这几十年涌现了大量的论文、专著，举行了多次分数微积分与分数微分方程理论和应用的国际会议．美国“数学评论”(mr)的分类目录中已列出专项．同时，由于它在物理学中的应用，还引起了对经典物理定律，的杯葛和激烈辩论，呈现出一派欣欣向荣的兴旺局面，然而这一切基本上只限于分数微分方程，对与它相应的分数差分方程则鲜有学者问津,我们相信广泛开展分数差分方程的研究是势在必行的，因为它对理论和应用都十分重要，
我们可以从两个不同的途径得到分数阶差分方程这一研究对象。
目录
总序
序言
前言
第一章 分数阶差分及分数阶和分的概念及其性质，莱布尼兹公式
§1 整数阶向后差分，整数阶和分
§2 分数阶和分及分数阶差分
§3 分数差分及和分的性质
§4 下限不为零时的分数差分及和分，基本性质
§5 另一类分数差分及分数和分，基本性质
§6 Caputo分数差分及简单性质
§7 分数阶差分算子的莱布尼兹公式
§7.1 几个引理
§7.2 莱布尼兹公式的推导
§7.3 多函数分数阶差分及和分的莱布尼兹公式
第二章 分数阶和分及分数阶差分的Z变换公式
§1 Z变换概念，卷积的Z变换
§2 关于正整数阶向后差分的Z变换公式
§3 关于分数阶差分及和分Z变换
§4 Caputo分数差分的Z变换
§5 关于序列分数差分的Z变换公式
§6 特殊函数A（k，λn）和λα（n）的Z变换
§7 关于离散Mittag―Leffler函数的Z变换公式
第三章 分数阶差分方程解的存在唯一性，解对初值的依赖性
§1 三种类型的分数阶差分方程柯西初值问题
§1.1 Riemann―Loiuville型分数差分的Calachy型问题
§1.2 关于Caputo分数差分方程的存在唯一性问题
§1.3 序列分数阶差分方程解的存在唯一性定理
§2 广义Gronwall不等式
§3 解对初值的依赖性
第四章 显示解分数差分方程的方法
§1 具有R―L型分数差分的柯西初值问题
§2 具有Caputo型分数差分的柯西初值问题
§3 具有序列分数差分的分数差分的柯西初值问题
§4 分数阶差分的变分与Euler―Lagrange方程
§4.1 最简分数阶差分的变分问题
§4.2 多个函数的分数差分变分问题
§4.3 整型约束条件下的分数阶差分的变分与Lagrange乘数法则
第五章 用待定系数法解（2，q）阶分数差分方程
§1 有理（k，q）阶分数差分方程定义
§2 特殊函数An（-μ，λ）
§3 特征方程为单根时的情形
§4 特征方程为重根时的情形
第六章 （k，q）分数阶差分方程的z变换方法求解
§1 特殊函数λα（n）的Z变换
§2 Z变换方法解（2，q）阶方程
§3 Z变换方法解（k，q）阶方程
§4 分数差分方程化为常差分方程
§5 分数和分方程的解
第七章 Z变换法解线性常系数分数阶差分方程
§1 R―L型具有常系数的齐次方程
§2 R―L型具常数系数的非齐次方程
§3 R―L分数差分方程的柯西问题
§4 具有Caputo分数差分方程的Z变换方解法
§5 关于Caputo型分数差分非齐次方程
§6 Caputo分数差分方程的柯西问题
§7 Z变换解分数阶差分方程举例
第八章 序列差分方程理论
§1 一般mv阶序列分数阶线性差分方程
§1.1 基本概念
§1.2 线性序列方程的通解结构
§2 有理（m，q）阶序列差分方程
§2.1 基本概念
§2.2 有理（2，q）阶序列差分方程的解
§2.3 有理（m，q）阶序列差分方程的解
§3 具常系数的线性mv阶序列分数差分方程的解
§3.1 通常的常系数向后差分方程解法回顾
§3.2 常系数线性齐次mv阶序列分数差分方程解法
§3.3 序列mv阶常系数线性非齐次分数阶差分方程的解法
§4 与常差分方程的一些比较
第九章 分数阶差分方程组（约当矩阵法）
§1 线性分数差分的方程组的一般理论
§2 有理（m，q）阶分数差分方程组
§2.1 齐次方程的解
§2.2 非齐次方程组的解
§3 常系数线性分数差分方程组的解法
§3.1 用Jordan矩阵理论求解
§3.2 Mittag―Leffler矩阵函数求常系数情形下的通解
第十章 分数阶Green函数
§1 整数阶向后差分方程的Green函数
§2 分数Green函数
§2.1 有理分数Green函数
§2.2 一般序列分数差分方程的Green函数
§3 离散分数Green函数举例
第十一章 用Adomian分解法解线性分数阶差分方程及方程组
§1 Adomian分解法的思想
§2 具有两项的常系数线性分数阶差分方程
§2.1 R―L型分数差分方程
§2.2 Caputo型分数差分方程
§3 具有常系数的多项线性分数阶差分方程的解析解
§3.1 两个分析上的引理
§3.2 Caputo型m项常系数的分数差分方程
§3.3 一些例子
§4 求解分数阶差分方程组
§5 更一般些的线性分数差分方程组
§5.1 Caputo型线性分数差分方程组
§5.2 Adomian分解级数的收敛性
§5.3 多重Mittag―Leffler函数矩阵应用
§5.4 一个例子
第十二章 Weyl型分数阶差分及分数阶和分的概念及其性质，莱布尼兹公式
§1 Weyl型分数和分的定义
§2 weyl型分数差分的定义
§3 weyl变换的代数
§4 weyl和分的莱布尼兹公式
§5 一些实例
第十三章 实变量的分数阶差分方程
§1 实变量整数阶和分与整数阶差分
§2 实变量分数阶和分与分数阶差分
§3 一些基本性质
§4 离散和分变换
§5 实变量分数阶差分方程的求解
§6 分数差分方程与分数微分方程之间的联系
参考文献
后记
序言
前言
第一章 分数阶差分及分数阶和分的概念及其性质，莱布尼兹公式
§1 整数阶向后差分，整数阶和分
§2 分数阶和分及分数阶差分
§3 分数差分及和分的性质
§4 下限不为零时的分数差分及和分，基本性质
§5 另一类分数差分及分数和分，基本性质
§6 Caputo分数差分及简单性质
§7 分数阶差分算子的莱布尼兹公式
§7.1 几个引理
§7.2 莱布尼兹公式的推导
§7.3 多函数分数阶差分及和分的莱布尼兹公式
第二章 分数阶和分及分数阶差分的Z变换公式
§1 Z变换概念，卷积的Z变换
§2 关于正整数阶向后差分的Z变换公式
§3 关于分数阶差分及和分Z变换
§4 Caputo分数差分的Z变换
§5 关于序列分数差分的Z变换公式
§6 特殊函数A（k，λn）和λα（n）的Z变换
§7 关于离散Mittag―Leffler函数的Z变换公式
第三章 分数阶差分方程解的存在唯一性，解对初值的依赖性
§1 三种类型的分数阶差分方程柯西初值问题
§1.1 Riemann―Loiuville型分数差分的Calachy型问题
§1.2 关于Caputo分数差分方程的存在唯一性问题
§1.3 序列分数阶差分方程解的存在唯一性定理
§2 广义Gronwall不等式
§3 解对初值的依赖性
第四章 显示解分数差分方程的方法
§1 具有R―L型分数差分的柯西初值问题
§2 具有Caputo型分数差分的柯西初值问题
§3 具有序列分数差分的分数差分的柯西初值问题
§4 分数阶差分的变分与Euler―Lagrange方程
§4.1 最简分数阶差分的变分问题
§4.2 多个函数的分数差分变分问题
§4.3 整型约束条件下的分数阶差分的变分与Lagrange乘数法则
第五章 用待定系数法解（2，q）阶分数差分方程
§1 有理（k，q）阶分数差分方程定义
§2 特殊函数An（-μ，λ）
§3 特征方程为单根时的情形
§4 特征方程为重根时的情形
第六章 （k，q）分数阶差分方程的z变换方法求解
§1 特殊函数λα（n）的Z变换
§2 Z变换方法解（2，q）阶方程
§3 Z变换方法解（k，q）阶方程
§4 分数差分方程化为常差分方程
§5 分数和分方程的解
第七章 Z变换法解线性常系数分数阶差分方程
§1 R―L型具有常系数的齐次方程
§2 R―L型具常数系数的非齐次方程
§3 R―L分数差分方程的柯西问题
§4 具有Caputo分数差分方程的Z变换方解法
§5 关于Caputo型分数差分非齐次方程
§6 Caputo分数差分方程的柯西问题
§7 Z变换解分数阶差分方程举例
第八章 序列差分方程理论
§1 一般mv阶序列分数阶线性差分方程
§1.1 基本概念
§1.2 线性序列方程的通解结构
§2 有理（m，q）阶序列差分方程
§2.1 基本概念
§2.2 有理（2，q）阶序列差分方程的解
§2.3 有理（m，q）阶序列差分方程的解
§3 具常系数的线性mv阶序列分数差分方程的解
§3.1 通常的常系数向后差分方程解法回顾
§3.2 常系数线性齐次mv阶序列分数差分方程解法
§3.3 序列mv阶常系数线性非齐次分数阶差分方程的解法
§4 与常差分方程的一些比较
第九章 分数阶差分方程组（约当矩阵法）
§1 线性分数差分的方程组的一般理论
§2 有理（m，q）阶分数差分方程组
§2.1 齐次方程的解
§2.2 非齐次方程组的解
§3 常系数线性分数差分方程组的解法
§3.1 用Jordan矩阵理论求解
§3.2 Mittag―Leffler矩阵函数求常系数情形下的通解
第十章 分数阶Green函数
§1 整数阶向后差分方程的Green函数
§2 分数Green函数
§2.1 有理分数Green函数
§2.2 一般序列分数差分方程的Green函数
§3 离散分数Green函数举例
第十一章 用Adomian分解法解线性分数阶差分方程及方程组
§1 Adomian分解法的思想
§2 具有两项的常系数线性分数阶差分方程
§2.1 R―L型分数差分方程
§2.2 Caputo型分数差分方程
§3 具有常系数的多项线性分数阶差分方程的解析解
§3.1 两个分析上的引理
§3.2 Caputo型m项常系数的分数差分方程
§3.3 一些例子
§4 求解分数阶差分方程组
§5 更一般些的线性分数差分方程组
§5.1 Caputo型线性分数差分方程组
§5.2 Adomian分解级数的收敛性
§5.3 多重Mittag―Leffler函数矩阵应用
§5.4 一个例子
第十二章 Weyl型分数阶差分及分数阶和分的概念及其性质，莱布尼兹公式
§1 Weyl型分数和分的定义
§2 weyl型分数差分的定义
§3 weyl变换的代数
§4 weyl和分的莱布尼兹公式
§5 一些实例
第十三章 实变量的分数阶差分方程
§1 实变量整数阶和分与整数阶差分
§2 实变量分数阶和分与分数阶差分
§3 一些基本性质
§4 离散和分变换
§5 实变量分数阶差分方程的求解
§6 分数差分方程与分数微分方程之间的联系
参考文献
后记
分数阶差分方程理论
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