概率统计中的反例

目录
第一章　事件与概率
符号
1．用事件的运算关系表示事件的方法不一定唯一
2．若A－B＝C，不一定有A＝C∪B
3．若A＝B∪C，不一定有A－B＝C
4．A∪（B－C）＝（A∪B）－C不一定成立
5．（A∪B）－B＝A不一定成立
6．A－（B－C）＝（A＝B）∪C不一定成立
7．？Ak－？Bk＝？（Ak－Bk）不一定成立
8．若A，B，C满足ABC＝φ，它们不一定两两互
不相容
9．若A，B互不相容，它们不一定相互对立
10．若AB＝φ且BC＝φ，不一定CA＝φ
11．对一个随机试验，样本空间的取法不一定唯
12．样本点不一定是事件
13．样本空间不一定是离散的
14．有限样本空间中的样本点不一定等概
15．同一个随机试验，所属的概型不一定唯一
16．不同的抽样方式其概率不一定不相同
17．概率为零的事件不一定是不可能事件
18．概率为1的事件不一定是必然事件
19．若P（A）＝P（B），不一定A＝B
20．若P（A∪B）＝P（A）＋P（B），A、B不一定
互不相容
21．若P（AB）＝0，不一定A，B互不相容
22．若P（A）＋P（B）＝1，A、B不一定互为对立
事件
23．若P（A）≤P（B），不一定有A？B
24．对任意的事件A、B，不一定有P（A－B）＝
P（A）－P（B）
25．对任意的事件A、B，不一定有P（A∪B）＝
P（A）＋P（B）
26．对“等可能性”的理解不同，得的概率不一
定相同
27．当ABC＝φ时，不一定有P（A∪B∪C）＝P（A）
＋P（B）＋P（C）
第二章　条件概率与事件的独立性
符号
1．P（A｜B）与P（A）不一定有大小关系
2．P（AB）与P（A）P（B）不一定有大小关系
3．若P（AB｜C）＝P（A｜C）P（B｜C），事件A，B
不一定独立
4．若A，B独立，不一定有P（AB｜C）＝P（A｜C）
·P（B｜C）
5．若P（A｜B）＝0，不一定A＝φ
6．若P（A｜B）＝1，不一定A＝Ω
7．若P（A｜C）＝P（B｜C），不一定A＝B
8．若AB≠φ，P（A∪B｜C）＝P（A｜C）＋P（B｜C）
不一定成立
9．若P（AB｜C）＝0，A、B不一定互不相容
10．若P（A｜C）＋P（B｜C）＝1，A、B不一定互为
对立事件
11．若P（A｜C）≤P（B｜C），不一定有A？B
12．P（A｜C）＋P（A｜？）＝1不一定成立
13．若P（AB）＝P（A）P（B），不一定有P（B｜A）
＝P（B）
14．两个事件在不同的样本空间中独立性不一定
相同
15．凭直觉不一定能判定事件的独立性
16．P（A｜C）＋P（A｜C）＝1并非恒不成立
17．若A，B不相容，不一定不独立
18．A与其自身A不一定不独立
19．P（ABC）＝P（A）P（A｜B）P（AB｜C）不一定
成立
20．A与B独立，B与C独立，C与A不一定独立
21．A与B独立，C？A，D？B，C与D不一定独立
22．A，B，C两两独立不一定相互独立
23．若P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），A、B、C不
一定两两独立
24．若A分别与B1，B2独立，B1B2≠φ，A与
B1∪B2不一定独立
25．若A，B，C两两独立，AB与C不一定独立
26．小概率事件在多次重复试验时不一定不会
发生
27．按混合抽取与按全概率公式计算的结果不一
定相同
28．若P（AB）≥P（A）P（B）且P（BC）≥P（B）
·P（C），不一定P（AC）≥P（A）P（C）
29．若P（AB）≤P（A）P（B）且P（BC）≤P（B）
·P（C），不一定P（AC）≤P（A）P（C）
30．A，B，C两两正相依，总体不一定正相依
31．A，B，C两两负相依，总体不一定负相依
第三章　随机变量及其分布
符号
1．不同定义的分布函数，其性质不一定相同
2．单调不减的函数不一定是分布函数
3．分布函数不一定是离散型的或连续型的
4．非离散型又非连续型的分布函数不一定为混
合型
5．若某随机变量ξ的分布函数为连续函数，ξ不
一定是连续型随机变量
6．几个分布函数的线性组合不一定是分布函数
7．若k1＋k2＝1，分布函数F1（x）、F2（x）的
线性组合k1F1（x）＋k2F2（x）不一定是分
布函数
8．分布函数的线性组合的分布类型不一定与原
来的分布类型相同
9．连续型随机变量的密度函数不一定是连续函
数
10．对指定的（Ω，？，P）和F（x），不一定有定
义在（Ω，？，P）上以F（x）为其分布函数的
随机变量ξ
11．离散型分布的最可能值不一定唯一
12．不对等的随机变量其分布函数不一定不同
13．若ξ，η同分布，不一定ξ－η＝0
14．若ξ，η服从同一分布，ξ＋η与2ξ的分布不一
定相同
15．三个给定的随机变量不一定能定义在同一个
概率空间上
16．具有无记忆性的分布不是唯一的
17．满足二维分布前三条性质的F（x，y）不一定满
足相容性
18．边际分布相同时，联合分布不一定相同
19．边际分布与联合分布的分布类型不一定相同
20．在不同的区域内，边际分布的类型不一定相
同
21．若ξ，η都服从一维正态分布，（ξ，η）不一定服
从二维正态分布
22．有相同的边际分布的联合分布的个数不一定
有限
23．随机变量（ξ，η）不一定是离散型或连续型的
24．不对等的多维随机变量其联合分布函数不一
定不同
25．n维随机变量（ξ1，…，ξn）的分量按从小到大
重新排列后其分布不一定与原分布相同
26．若（ξ，η）的联合分布函数F（x，y）在（x0，y0）连续，ξ和η的边际分布函数Fξ（x）和Fη（y）在点x0和y0不一定连续
27．连续型随机变量的函数不一定是连续型随机
变量
28．若连续型随机变量ξ的函数η＝f（ξ）也是连续
型随机变量，函数y＝f（x）不一定严格单调
29．随机变量ξ与其函数η＝f（ξ）的分布类型不一
定相同
30．由一个一维密度函数不一定不能构造出一个
二维密度函数
31．若ξ与η独立且同分布，其函数ζ＝f（ξ，η）不
一定与它们同分布
32．随机变量ξ与η的不同函数的分布不一定不相
同
33．若ξ1，ξ2的联合分布函数F（x1，x2）在一切
点上连续，其函数η1＝ξ1＋ξ2，η2＝ξ1－ξ
的联合分布函数G（y1，y2）不一定在一切点
上连续
34．随机变量的函数的分布不一定与原来的参数
有关
35．条件概率分布与无条件概率分布的类型不
一定相同
36．若ξ与η同分布，ξ－η不一定是对称的随机变
量
37．若ξ，η的联合分布关于自变量x，y不对称，
ξ－η不一定不是对称的随机变量
38．对称的随机变量并非都是对称化过程的结果
第四章　随机变量的独立性与相关性
符号
1．ξ1，…，ξn两两独立不一定相互独立
2．ξ，η不相互独立，其函数f（ξ），g（ξ）不一定不相互独立
3．若ξ，η的分布相同，它们不一定独立
4．若（ξ，η）的联合密度函数p（x，y）可分解为
g（x）h（y），ξ与η不一定相互独立
5． 若ξ1，ξ2独立，其函数η1＝f1（ξ1，ξ2）与η2＝f2（ξ1，ξ2）不一定独立
6．若ξ1，ξ2独立，其函数η1＝f1（ξ1，ξ2）与
η2＝f2（ξ1，ξ2）不一定不独立
7．ξ与ζ有函数关系不一定不独立
8．若ξ＝（ξ1，ξ2）与η＝（η1，η2）独立，ξ1与ξ
或η1与η2不一定独立
9．若ξ与η1独立，ξ与η2也独立，ξ与随机向量
（η1，η2）不一定独立
10．若ξ与不相关，ξ与η不一定独立
11．ξ与它的函数不一定相关
12．不知道（ξ，η）的联合分布，不一定不能确定
ξ，η的相关性和独立性
13．若ξ1与ξ2不独立，其函数η1＝f1（ξ1，ξ2）与η2＝f2（ξ1，ξ2）不一定不独立
第五章　随机变量的数学特征
符号
1．随机变量不一定存在数学期望
2．随机变量不一定存在方差
3．数学期望存在不一定方差存在
4．Eξr存在不一定Eξr＋1存在
5．若Eξ不存在，Eξα（α＜1）不一定不存在
6．若Dξ＝0，ξ不一定恒取常值c
7．若E（ξη）＝EξEη，ξ与η不一定独立
8．若D（ξ＋η）＝Dξ＋Dη，ξ与η不一定独立
9．Eξ2与（Eξ）2不一定不相等
10．Eξ及Dξ不能确定ξ的分布
11．由各阶矩不能确定ξ的分布
12．E〔g（ξ）〕与g〔Eξ〕不一定相等
13．若E（η｜ξ）＝E（η），ξ与η不一定独立
14．若ξ和η不相关，不一定E（η｜ξ）＝Eη
15．ξ、η的不同函数的数学期望或方差不一定不
同
16．Eg（ξ）＝E｛E［g（ξ）｜η］｝不一定成立
17．若D（ξ1＋ξ2＋ξ3）＝Dξ1＋Dξ2＋Dξ3，ξ1、ξ2、ξ3不一定两两不相关
18．若ξ1，ξ2，ξ3两两不相关，不一定有E（ξ1ξ2ξ
＝Eξ1Eξ2Eξ3
19．若E（ξ1ξ2ξ3）＝Eξ1Eξ2Eξ3，ξ1、ξ2、ξ3不一定两两不相关
20．若D（ξ1＋ξ2＋ξ3）＝Dξ1＋Dξ2＋Dξ3，不一定有E（ξ1ξ2ξ3）＝Eξ1Eξ2Eξ3
21．若E（ξ1ξ2ξ3）＝Eξ1Eξ2Eξ3，不一定有
D（ξ1＋ξ2＋ξ3）＝Dξ1＋Dξ2＋Dξ3
第六章　特征函数
符号
1．并非任一函数φ（t）都能作为某个随机变量ξ
的特征函数
2．在有限区间内特征函数的值不足以唯一决定
分布函数
3．若φξ＋η（t）＝φξ（t）φη（t），ξ与η不一定独立
4．若ξ的特征函数在t＝0处有导数φ？（0），Eξ不一定存在
5．特征函数的极限不一定是特征函数
6．ξ与η＝ξ＋b的k阶半不变量并非总相等
7．ξ的矩母函数不一定存在
第七章　极限定理
符号
1．分布函数的极限不一定是分布函数
2．分布函数列不一定弱收敛于分布函数
3．若ξn？ξ，不一定对一切x有Fn（x）→F（x）
4．若Fn（x）？F（x），不一定有ξn？ξn→∞
5．弱收敛的极限函数不一定唯一
6．依分布收敛不一定依概率收敛
7．依概率收敛不一定几乎处处收敛
8．依概率收敛的序列不一定收敛
9．依概率收敛不一定r阶收敛
10．几乎处处收敛不一定r阶收敛
11．r阶收敛不一定几乎处处收敛
12．若r＞s，s阶收敛不一定r阶收敛
13．依概率收敛其数学期望不一定收敛
14．依概率收敛其矩不一定收敛
15．若｛ξk｝依概率收敛于ξ且Eξn收敛于Eξ，不一
定E｜ξn－ξ｜收敛于0
16．若nkP（｜ξ｜＞n）→0，不一定有E｜ξ｜k＜∞
17．矩母函数的极限不一定是一个矩母函数
18．若｛ξn｝依分布收敛于ξ，其矩母函数Mn（t）不
一定收敛于ξ的矩母函数M（t）
19．切贝谢夫不等式不一定不能取等号
20．相互独立的随机变量序列不一定服从切贝谢
夫大数定律
21．独立同分布的随机变量序列不一定满足辛钦
大数定律的条件
22．若随机变量序列服从辛钦大数定律，它不一
定服从马尔科夫大数定律
23．马尔科夫条件成立时，切贝谢夫大数定律不
一定成立
24．马尔科夫条件并非大数定律成立的必要条件
25．不满足马尔科夫条件不一定不服从强大数定
律
26．若ξ1，ξ2，…相互独立且Dξn＝σ？（n≥1），
｛ξn｝不一定服从强大数定律
27．波雷尔-坎特拉引理（1）的逆命题不成立
28．若ξ1，ξ2，…不满足两两不相关，｛ξk｝不一
定不服从大数定律
29．若ξ1，ξ2，…不服从大数定律，其函数序列
｛ηk｝不一定不服从大数定律
30．若｛ξk｝服从大数定律，它不一定服从强大数
定律
31．独立随机变量序列｛ξk｝若具有有限的方差，
它不一定服从中心极限定理
32．若｛ξk｝不满足林德伯格条件，它不一定不服从
中心极限定理
33．若｛ξk｝不满足费勒条件，它不一定不服从中
心极限定理
34．若｛ξk｝服从大数定律，它不一定服从中心极
限定理
35．若｛ξk｝服从中心极限定理，它不一定服从大
数定律
36．｛ξk｝不一定服从中心极限定理或大数定律中
的一个
第八章　数理统计的基本概念
符号
1．子样的函数不一定是统计量
2．统计量的分布不一定不依赖于未知参数
3．子样均值？的分布与母体ξ的分布不一定不同
4．？的分布不一定随着子样容量n的增大而更加
集中
5．？的分布与母体ξ的分布不一定属于同一类型
的分布
6．由同一个子样所构成的两个统计量不一定不
独立
7．次序统计量之间不一定相互独立
8．次序统计量的函数不一定不独立
9．中位数不一定唯一
10．若Eξ不存在，ξ的中位数不一定不存在
11．次序统计量的分布类型不一定与母体ξ不同
12．统计量的分布不一定是渐近正态分布的
13．统计量不一定是充分统计量
14．参数的充分统计量不一定唯一
第九章　参数估计
符号
1．参数的无偏估计不一定唯一
2．参数不一定对任何子样都存在无偏估计
3．若参数θ的无偏估计是？，其函数f（θ）的无偏
估计（假定存在）不一定是f（？）
4．矩估计量不一定是无偏估计
5．极大似然估计不一定是无偏估计
6．一个参数的极大似然估计量与矩估计量不一
定相同
7．极大似然估计不一定唯一
8．似然方程的解不一定是极大似然估计
9．矩法估计不具有不变性
10．无偏估计不一定均方误差最小
11．同一参数的不同的无偏估计量，其方差不一
定相同
12．参数的一致估计不一定是无偏估计
13．参数的一致估计量不一定唯一
14．参数θ的几个无偏估计之间不一定有线性表
出关系
15．无偏估计不一定不能达到罗-克拉美不等式
的方差界
16．若？不存在，无偏估计的方差不一
定不小于罗-克拉美的方差界
17．无偏估计不一定是有效估计
18．极大似然估计不一定是有效估计
19．充分统计量的函数不一定是充分统计量
20．充分统计量不一定是有效估计
21．无偏估计不一定总是合理的
第十章　假设检验
符号
1．并非每一个假设都是统计假设
2．假设不一定是简单假设
3．α＋β不一定等于1
4．α＋β不一定不能等于1
5．α小时，β不一定大
6．不否定原假设H0，不一定H0是正确的
7．所给显著性水平α不同，检验的结果不一定相
同
8．检验H0时，对于相同的统计量及相同的显
著性水平α，其拒绝域不一定唯一
9．拒绝域不一定是对称的
10．若母体ξ不服从正态分布时，检验均值不一
定不能用U-检验
11．对于同一置信度，置信区间不唯一
12．对同一假设，检验的方法不一定唯一
13．不同的检验方式所得的结论不一定相同
参考文献