简介
本教程主要依据教育部计算机科学与技术教学指导委员会编制的《高等学校计算机科学与技术专业规范》和《高等学校计算机科学与技术专业核心课程教学实施方案》进行设计与定位，并针对综合性大学和工程类院校计算机科学与技术专业本科生进行选材与编撰。
本教程打破了传统离散数学教材几大模块分割的编写方式，突出知识的内在联系，强调理论的循序渐进、相互依存，从而更具有可读性和系统性。本教程不仅覆盖了集合论、数理逻辑、数论、组合论、图论、可计算性、抽象代数等基础理论部分，还包含了这些基本理论在粗糙集、模糊集、自动推理、智能搜索、加密技术等领域的应用，并涉及公理化集合论、数理逻辑形式系统、形式语言与自动机等相关理论。本教程以离散结构为建模对象，紧密联系计算机科学技术，特别强调应用能力、证明技术、计算思维的培养。
为便于学生及时复习并巩固所学知识，本教程在每节后安排了大量习题；同时，为便于学有余力的学生进一步深造，每章后安排了一节阅读材料，以此来对本章所介绍的理论进行深入探讨，或进一步介绍技术的应用层面。
本教程不仅可用作高等学校计算机及相关专业本科生的离散数学课程教材，也可供相关工程技术人员阅读参考。
目录
第0章 准备知识
0.1 集合、命题、谓词和运算
0.1.1 集合
0.1.2 命题与谓词
0.1.3 集合的表示
0.1.4 外延性原理与子集合
0.1.5 运算
练习0.1
0.2 鸽笼原理
0.2.1 鸽笼原理基本形式
0.2.2 鸽笼原理加强形式
练习0.2
第1章 逻辑代数(上)：命题演算
1.1 逻辑联结词与命题公式
1.1.1 逻辑联结词
1.1.2 命题公式
1.1.3 语句形式化
练习1.1
1.2 逻辑等价式和逻辑蕴涵式
1.2.1 重言式
1.2.2 逻辑等价式和逻辑蕴涵式
1.2.3 对偶原理
1.2.4 应用逻辑
练习1.2
1.3 范式
1.3.1 析取范式和合取范式
1.3.2 主析取范式与主合取范式
1.3.3 联结词的扩充与归约
练习1.3
1.4 命题演算消解原理
练习1.4
1.5 阅读材料：布尔代数
第2章 逻辑代数(下)：谓词演算
2.1 谓词演算基本概念
2.1.1 个体
2.1.2 谓词
2.1.3 量词
2.1.4 谓词公式及语句形式化
练习2.1
2.2 谓词演算永真式
2.2.1 谓词公式的语义
2.2.2 谓词演算永真式
2.2.3 谓词公式等价变换的几个
基本原理
练习2.2
2.3 谓词演算消解原理
2.3.1 前柬化和消去量词
2.3.2 谓词演算消解原理
练习2.3
2.4 阅读材料：形式推理与形式系统[2]
2.4.1 一个形式系统的例子
2.4.2 自然推理形式系统ND
第3章 集合代数
3.1 集合运算
3.1.1 集合的并、交、差、补运算
3.1.2 集合的环和与环积运算
3.1.3 幂集与广义并、交运算
练习3.1
3.2 集合的笛卡儿积
练习3.2
3.3 集合定义的自然数和归纳法
证明
3.3.1 集合定义的自然数
3.3.2 归纳法证明
练习3.3
3.4 阅读材料：公理化集合论
简介[4]
第4章 初等数论
4.1 整除和素数
4.1.1 整除
4.1.2 最大公因子
4.1.3 算术基本定理
4.1.4 素数的性质
4.1.5 实数的取整[z]与取另{z)
练习4.1
4.2 同余
4.2.1 同余的基本性质
4.2.2 剩余系
4.2.3 一次同余方程
4.2.4 同余式组
4.2.5 Euler定理和Fetmat
小定理
练习4.2
4.3 阅读材料：数论在加密
技术中的应用
4.3.1 仿射加密方法
4.3.2 RSA加密方法
4.3.3 数字签名
第5章 计数
5.1 计数基本原理
5.1.1 加法原理和乘法原理
5.1.2 包含排斥原理
练习5.1
5.2 排列与组合
5.2.1 排列的计数
5.2.2 组合的计数
练习5.2
5.3 重集的排列与组合
5.3.1 重集的排列
5.3.2 重集的组合
5.3.3 错置的计数
练习5.3
5.4 递归式及其应用
5.4.1 递归式建模
5.4.2 递归式求解
练习5.4
5.5 阅读材料：母函数
第6章 关系
6.1 关系
6.1.1 关系及二元关系
6.1.2 关系基本运算
6.1.3 关系数据库中的关系运算
6.1.4 关系的基本特性
6.1.5 关系的特性闭包
练习6.1
6.2 等价关系
6.2.1 等价关系及其等价类
6.2.2 等价关系与划分
6.2.3 等价关系的应用
练习6.2
6.3 序关系
6.3.1 序关系和有序集
6.3.2 全序集与良序集
6.3.3 有序集的应用
练习6.3
6.4 阅读材料：格
第7章 函数
7.1 函数及函数的合成
7.1.1 函数基本概念
7.1.2 函数的合成
7.1.3 函数的递归定义
练习7.1
7.2 特殊函数类
7.2.1 单射、满射和双射
7.2.2 函数的逆
7.2.3 谓词、集合、函数的统描述与模糊子集
练习7.2
7.3 有限集和无限集
7.3.1 有限集、可数集与不可数集
7.3.2 无限集的特性
练习7.3
7.4 阅读材料：集合基数与基数比较
第8章 可计算函数
8.1 函数概念的拓广
练习8.1
8.2 初等函数
8.2.1 初等函数集
8.2.2 初等谓词
练习8.2
8.3 原始递归函数
8.3.1 初等函数集的不足
8.3.2 原始递归式
8.3.3 原始递归函数集
练习8.3
8.4 递归函数
8.4.1 阿克曼函数及其性质
8.4.2 pc一递归式
8.4.3 递归函数集(口一递归函数集)
练习8.4
8.5 阅读材料：图灵机
8.5.1 图灵机的组成
8.5.2 图灵可计算函数
第9章 图与树
9.1 图
9.1.1 图的基本概念
9.1.2 结点的度
9.1.3 子图、补图及图同构
9.1.4 图的应用
练习9.1
9.2 路径、回路及连通性
9.2.1 路径、通路与回路
9.2.2 连通性
9.2.3 连通度
练习9.2
9.3 图的矩阵表示
9.3.1 邻接矩阵
9.3.2 路径矩阵与可达性矩阵
练习9.3
9.4 树
9.4.1 树的基本概念
9.4.2 生成树
练习9.4
9.5 阅读材料：图搜索算法
9.5.1 图搜索算法(A算法)
9.5.2 启发式图搜索算法(A算法)
第10章 特殊图
10.1 欧拉图与哈密顿图
10.1.1 欧拉图及欧拉路径
10.1.2 哈密顿图及哈密顿通路
10.1.3 欧拉图与哈密顿图的应用
练习10.1
10.2 二分图
10.2.1 二分图基本概念
l0.2.2 二分图的匹配及其应用
练习10.2
10.3 平面图
l0.3.1 F面图基本概念
10.3.2 欧拉公式和库拉托夫
斯基定理
10.3.3 F面图的应用：着色问题
练习10.3
10.4 根树
10.4.1 根树的概念
10.4.2 二元树的性质及应用
练习10.4
10.5 阅读材料：博弈树与智能博弈
第11章 代数结构通论
11.1 代数结构
11.1.1 代数结构的组成
11.1.2 代数结构的特殊元素
11.1.3 子代数
练习11.1
11.2 同态和同构
练习11.2
11.3 同余关系
11.3.1 同余关系的意义
11.3.2 同态与同余关系
11.3.3 同余关系的应用
练习11.3
11.4 阅读材料：正则语言及其代数性质
第12章 群、环、域
12.1 半群
12.1.I芦群及独异点
12.1.2 自由独异点
练习12.1
12.2 群
12.2.1 群及其基本性质
12.2.2 群的元素的阶
12.2.3 子群、陪集和拉格朗日定理
12.2.4 iE规子群和商群
练习12.2
12.3 循环群和置换群
12.3.1 循环群
12.3.2 置换群
12.3.3 置换群的应用
练习12.3
12.4 环和域
12.4.1 环
12.4.2 域
练习12.4
12.5 阅读材料：有穷自动机
12.5.1 有穷自动机
12.5.2 状态迁移幺半群
12.5.3 语言同余关系
参考文献
0.1 集合、命题、谓词和运算
0.1.1 集合
0.1.2 命题与谓词
0.1.3 集合的表示
0.1.4 外延性原理与子集合
0.1.5 运算
练习0.1
0.2 鸽笼原理
0.2.1 鸽笼原理基本形式
0.2.2 鸽笼原理加强形式
练习0.2
第1章 逻辑代数(上)：命题演算
1.1 逻辑联结词与命题公式
1.1.1 逻辑联结词
1.1.2 命题公式
1.1.3 语句形式化
练习1.1
1.2 逻辑等价式和逻辑蕴涵式
1.2.1 重言式
1.2.2 逻辑等价式和逻辑蕴涵式
1.2.3 对偶原理
1.2.4 应用逻辑
练习1.2
1.3 范式
1.3.1 析取范式和合取范式
1.3.2 主析取范式与主合取范式
1.3.3 联结词的扩充与归约
练习1.3
1.4 命题演算消解原理
练习1.4
1.5 阅读材料：布尔代数
第2章 逻辑代数(下)：谓词演算
2.1 谓词演算基本概念
2.1.1 个体
2.1.2 谓词
2.1.3 量词
2.1.4 谓词公式及语句形式化
练习2.1
2.2 谓词演算永真式
2.2.1 谓词公式的语义
2.2.2 谓词演算永真式
2.2.3 谓词公式等价变换的几个
基本原理
练习2.2
2.3 谓词演算消解原理
2.3.1 前柬化和消去量词
2.3.2 谓词演算消解原理
练习2.3
2.4 阅读材料：形式推理与形式系统[2]
2.4.1 一个形式系统的例子
2.4.2 自然推理形式系统ND
第3章 集合代数
3.1 集合运算
3.1.1 集合的并、交、差、补运算
3.1.2 集合的环和与环积运算
3.1.3 幂集与广义并、交运算
练习3.1
3.2 集合的笛卡儿积
练习3.2
3.3 集合定义的自然数和归纳法
证明
3.3.1 集合定义的自然数
3.3.2 归纳法证明
练习3.3
3.4 阅读材料：公理化集合论
简介[4]
第4章 初等数论
4.1 整除和素数
4.1.1 整除
4.1.2 最大公因子
4.1.3 算术基本定理
4.1.4 素数的性质
4.1.5 实数的取整[z]与取另{z)
练习4.1
4.2 同余
4.2.1 同余的基本性质
4.2.2 剩余系
4.2.3 一次同余方程
4.2.4 同余式组
4.2.5 Euler定理和Fetmat
小定理
练习4.2
4.3 阅读材料：数论在加密
技术中的应用
4.3.1 仿射加密方法
4.3.2 RSA加密方法
4.3.3 数字签名
第5章 计数
5.1 计数基本原理
5.1.1 加法原理和乘法原理
5.1.2 包含排斥原理
练习5.1
5.2 排列与组合
5.2.1 排列的计数
5.2.2 组合的计数
练习5.2
5.3 重集的排列与组合
5.3.1 重集的排列
5.3.2 重集的组合
5.3.3 错置的计数
练习5.3
5.4 递归式及其应用
5.4.1 递归式建模
5.4.2 递归式求解
练习5.4
5.5 阅读材料：母函数
第6章 关系
6.1 关系
6.1.1 关系及二元关系
6.1.2 关系基本运算
6.1.3 关系数据库中的关系运算
6.1.4 关系的基本特性
6.1.5 关系的特性闭包
练习6.1
6.2 等价关系
6.2.1 等价关系及其等价类
6.2.2 等价关系与划分
6.2.3 等价关系的应用
练习6.2
6.3 序关系
6.3.1 序关系和有序集
6.3.2 全序集与良序集
6.3.3 有序集的应用
练习6.3
6.4 阅读材料：格
第7章 函数
7.1 函数及函数的合成
7.1.1 函数基本概念
7.1.2 函数的合成
7.1.3 函数的递归定义
练习7.1
7.2 特殊函数类
7.2.1 单射、满射和双射
7.2.2 函数的逆
7.2.3 谓词、集合、函数的统描述与模糊子集
练习7.2
7.3 有限集和无限集
7.3.1 有限集、可数集与不可数集
7.3.2 无限集的特性
练习7.3
7.4 阅读材料：集合基数与基数比较
第8章 可计算函数
8.1 函数概念的拓广
练习8.1
8.2 初等函数
8.2.1 初等函数集
8.2.2 初等谓词
练习8.2
8.3 原始递归函数
8.3.1 初等函数集的不足
8.3.2 原始递归式
8.3.3 原始递归函数集
练习8.3
8.4 递归函数
8.4.1 阿克曼函数及其性质
8.4.2 pc一递归式
8.4.3 递归函数集(口一递归函数集)
练习8.4
8.5 阅读材料：图灵机
8.5.1 图灵机的组成
8.5.2 图灵可计算函数
第9章 图与树
9.1 图
9.1.1 图的基本概念
9.1.2 结点的度
9.1.3 子图、补图及图同构
9.1.4 图的应用
练习9.1
9.2 路径、回路及连通性
9.2.1 路径、通路与回路
9.2.2 连通性
9.2.3 连通度
练习9.2
9.3 图的矩阵表示
9.3.1 邻接矩阵
9.3.2 路径矩阵与可达性矩阵
练习9.3
9.4 树
9.4.1 树的基本概念
9.4.2 生成树
练习9.4
9.5 阅读材料：图搜索算法
9.5.1 图搜索算法(A算法)
9.5.2 启发式图搜索算法(A算法)
第10章 特殊图
10.1 欧拉图与哈密顿图
10.1.1 欧拉图及欧拉路径
10.1.2 哈密顿图及哈密顿通路
10.1.3 欧拉图与哈密顿图的应用
练习10.1
10.2 二分图
10.2.1 二分图基本概念
l0.2.2 二分图的匹配及其应用
练习10.2
10.3 平面图
l0.3.1 F面图基本概念
10.3.2 欧拉公式和库拉托夫
斯基定理
10.3.3 F面图的应用：着色问题
练习10.3
10.4 根树
10.4.1 根树的概念
10.4.2 二元树的性质及应用
练习10.4
10.5 阅读材料：博弈树与智能博弈
第11章 代数结构通论
11.1 代数结构
11.1.1 代数结构的组成
11.1.2 代数结构的特殊元素
11.1.3 子代数
练习11.1
11.2 同态和同构
练习11.2
11.3 同余关系
11.3.1 同余关系的意义
11.3.2 同态与同余关系
11.3.3 同余关系的应用
练习11.3
11.4 阅读材料：正则语言及其代数性质
第12章 群、环、域
12.1 半群
12.1.I芦群及独异点
12.1.2 自由独异点
练习12.1
12.2 群
12.2.1 群及其基本性质
12.2.2 群的元素的阶
12.2.3 子群、陪集和拉格朗日定理
12.2.4 iE规子群和商群
练习12.2
12.3 循环群和置换群
12.3.1 循环群
12.3.2 置换群
12.3.3 置换群的应用
练习12.3
12.4 环和域
12.4.1 环
12.4.2 域
练习12.4
12.5 阅读材料：有穷自动机
12.5.1 有穷自动机
12.5.2 状态迁移幺半群
12.5.3 语言同余关系
参考文献
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