数学及其认识[电子资源.图书]

前言

第一章 绪论

1 数学的认识论与数学思维

一、从东方人的思维特征谈起

二、谈谈哲学及其认识论的深化进程

三、数学思维与合情推理

2 谈点学习心理学

一、关于认识过程的一点认识

二、对学习的一点再认识

三、关于学习的年龄特征

第二章 数学一瞥

1 数学史一瞥

一、数学的基本发生图

二、数学中心的迁移史

三、数学史的几个重要阶段

2 应用数学全空间认识

一、应用数学全空间示意图

二、模型化--数学的近似性

三、精确性--数学的内部过程

四、广义性--数学回到客观世界

.3 公理化一瞥

一、古典公理化思想的产生

二、现代公理系统思想的产生

三、公理化、公理系统及与形式化、形式系统的关系

四、公理化思想(广义公理化)

五、公理化赞(代小结)

第三章 数学中几个基本特征

1 数学的基本对象：集合

一、集合认识简顾

二、集合概念及其引伸

三、集合元素与数学的抽象性

2 数学的基本关系

一、序关系

二、运算关系

三、映射关系

3 数学的基本结构

一、序结构

二、代数结构

三、拓扑结构

四、复合结构

4 无穷的数学认识

一、无穷的基本类型

二、科学发展-向无穷的迈进?

三、无穷认识小史简述

四、现代数学对无穷的认识状态简述

第四章 对偶性、二象性与完全空间

1 对偶空间认识

一、具有内积特征的对偶空间概念及其推广认识

二、赋范空间等及多重线性空间的对偶结构

三、对偶原理及其应用

四、系统变量、参变量与影响因素辨

2 二象性原理

一、微观世界的二象特征及其机理认识

二、宏观世界的二象性结构

三、二象结构的普遍存在性

3 对立统一律与完全空间论

一、完全空间概念的引入

二、完全空间中对偶二象的特征认识

三、完全空间中二象互胀关系的描述(几个模型例)

四、对"软科学时代"说的认识

第五章 数学的逻辑范畴认识

1 逻辑学概念

2 形式逻辑与符号逻辑

一、基本概念与特征

二、形式逻辑的基本内容

三、思维方法的研究

四、形式逻辑的发展现状

五、符号逻辑

3 数理逻辑学简要认识

一、简要回顾

二、基本特征

三、主要分支

四、基本内容

4 形式逻辑的本质认识

一、思维形式再认识

二、思维规律(四律)认识

三、形式逻辑的一个根本规律是"因果律"

四、物质宇宙的根本特征是运动

五、物质宇宙是个动力系统

六、因果律正合物质宇宙x的动力系统特征

七、猜测：逻辑思维的背景空间=完全宇宙=逻辑思维对象集

八、推论1：完全宇宙(x，x*)= 是个最大的动力系统

九、推论2：完全宇宙是个高维空间

十、附注

5 辩证逻辑认识

一、辩证逻辑产生的客观基础

二、辩证逻辑简顾

三、辩证逻辑规律

四、辩证逻辑的本质与特征

6 数学逻辑及其认识

一、问题的引入

二、数学具有逻辑学的基本特征

三、数学具备的独有特征

四、数学逻辑的概念界定

五、几种主要逻辑范畴间的关系认识

7 关于多值逻辑的认识

一、概念的引入

二、不确定性的存在机理

三、不确定性问题的分类

四、模糊逻辑及其特征

第六章 实数再认识

1 实数认识的几个重要成果回顾

一、算术--实数的运算性质

二、数论--整数的组合特征

三、数系的扩展

四、实数的序性、稠密性和完备性考察

五、实数的集合论认识

2 实数集的宏观欣赏

一、实数认识的四大阶段

二、实轴再欣赏

三、实数集与数学的发展史

四、方寸嵌宇宙、滴水含太阳

五、居中原理

3 实轴上一点处的欣赏

一、分杵问题与物质结构观

二、区间端点认识

三、与任一实数最贴近的实数认识：稠密(粒)观与连续(流)观

4 实轴的结构欣赏

一、人类仅生活在rr的子集上

二、rr与ri相比，谁多?

三、人类的测量活动几乎都是不精确的

5 实轴能认识透吗?

第七章 加乘数学：代数学认识

1 代数学基本概念及其评述

一、群

二、环、理想与结合环

三、域、体、有限域、扩张域及bool代数、格

四、线性空间、模与代数

五、张量代数

六、评述与注释

2 文字代数与符号代数

一、文字代数

二、符号代数

三、方程式论

四、方程组论

3 抽象代数

一、群与近世代数学

二、抽象代数时期：环与超复数系

三、代数学时期

四、复数的实质及在代数学与数学中的地位

五、代数学特征再认识

4 加乘概念的扩展

一、点乘与内积，叉乘与外积

二、∪、∩运算

三、v、运算

四、运算

5 广义代数学

一、数学的代数结构

二、大自然的代数结构

三、广义代数学

6 小结图

第八章 周期数学及其认识

1 周期原理

一、大自然的周期结构

二、周期：用有限表现无穷的基本方式

三、周期：运动的基本形式

四、周期与循环辨

五、周期原理

2 周期函数及有关概念讨论

一、周期函数定义及其讨论

二、复数及复变函数的周期性

3 作为解的周期函数认识

一、周期解

二、周期轨类

三、调和解类

4 周期概念的推广、周期函数论的发展

一、周期概念的推广

二、调和分析

5 小波分析基本认识

一、傅氏级数小史与实质

二、f(x)的三角表达式及其条件讨论

三、正交基与f(x)的傅氏级数

四、傅氏变换与傅氏积分及其基本性质

五、小波变换基本发展过程

6 周期力学

一、振动理论认识

二、波动理论认识

第九章 数学按其描述特征的几种类型认识

1 确定性数学

一、数值数学

二、分析数学i：数学分析的发展

三、分析数学ii：数学推理方法的发展

2 时间数学i：t变量数学与动力系统

一、序：时间变量与时间函数

二、连续时间数学

三、离散时间数学(动力系统与混沌)

3 时间数学ii：随机数学

一、随机数学小议

二、概率概念中的时间性

三、随机过程的时间特征

四、统计学中的时间性

五、时序分析

4 模糊数学与复杂性数学

一、关于不确定数学

二、模糊数学

三、复杂性数学

5 优化数学

一、价值数学与优化数学、运筹学

二、优化数学基本原理

三、求最优方案的优化数学

四、求最优轨道的优化数学：控制论等

第十章 数学按其空间形式的发展

1 点式数学

一、1619年前：线段数学

二、1619年后的点式数学

2 邻域数学

一、笛卡儿坐标概念引起的函数论与分析学

二、坐标概念的推广

三、点的邻域性质认识

四、典型的邻域数学i：点集拓扑与拓扑学简述

五、典型的邻域数学ii：流形上的数学

六、邻域数学思想的应用：一个社会核拓扑模型

3 空间数学

一、数学研究中的空间手法

二、欧氏空间数学

三、非欧氏空间与几何学

四、弯空间：流形认识

五、函数空间的数学：谈谈泛函

六、关于参数空间的数学

第十一章 数学按其空间形式的发展深入：无穷小论

1 数学对无穷小的认识回顾

一、无穷小对认识论、方法论的初次挑战

二、无穷小再次挑战与认识的进步

三、公理集合论：人类向无穷小的一次主动挑战

四、非标准分析：人类对无穷小的再次主动挑战

2 极限论述评

一、述评申明

二、极限论的优越性

三、极限论的实质

四、＞0只是个稠密集

五、无穷小的一个新定义

六、在无穷小概念下极限论显出的缺陷

3 非标准分析述评

一、背景及其思想的引入

二、非标准分析概要

三、非标准分析开启了真正的无穷小认识

四、无穷小的初步性质

五、非标准分析之不足

4 来自微观世界的启示

一、关于微观世界

二、微观世界的一般特征

三、微观世界的根本特征：非牛顿空间

四、无穷小世界与非牛顿空间的关系

五、超弦：基本粒子论对无穷小理论的支持

六、在微观领域数、理有必要进一步"联姻"

5 客观世界的"动"机制认识

一、从能量认识谈起

二、能量的本质与"动"机制

三、动机制与动邻域

四、动邻域与高维空间

6 无穷小认识与芝诺悖论解释

一、基于§1～§5的几点定性认识

二、复单子：无穷小的一个模型描述

三、无穷小认识的应用与芝诺悖论解释

第十二章 现代数学与社会科学的"联姻"基础

1 现代科学与现代数学特征

一、从"现代"概念谈起

二、现代科学特征

三、现代数学特征i：泛函性

四、现代数学特征ii：大范围分析

五、现代数学特征iii：非线性、高维空间、不确定性

与抽象化风

2 社会科学特征及与现代数学的相似性

一、社会概念、属性空间与社会丛

二、社会科学的特征

三、社会科学与现代数学的"联姻"前景

3 社会科学与现代数学"联姻"前景的逻辑地位

一、现代数学与现代物理的联姻事实

二、任何学科的深入都需要数学和哲学

三、联姻前景的分形考虑

4 一个应用例：市场经济下的竞争机制

一、社会的市场结构

二、市场x上的竞争模型

三、系统(4．2)'的讨论

四、系统(4．2)'或(4．3)的参数讨论

五、关于国企与私企的竞争

六、重组论

七、竞争势及其传递效应