Lectures on Differential Geometry

《微分几何讲义》

第一章比较定理与梯度估计

1.1比较定理

1.2分裂定理

1.3梯度估计

1.4具非负ricci曲率的完备riemann流形

第二章负曲率流形上的调和函数

2.1几何边界s(**)及dirichlet问题的可解性

2.2harnack不等式与poisson核

2.3martin边界与martin积分表示

2.4harhack不等式的证明

2.5更一般流形上的调和函数

2.6次调和函数与次中值公式

附录整体green函数的存在性

第三章特征值问题

3.1特征值的基本性质

3.2riemann流形的热核

3.3第一特征值上界估计

3.4第一特征值下界估计

3.5高阶特征值的估计

.3.6结点集与特征值的重数

3.7相邻两特征值之空隙

3.8与曲面有关的特征值问题

第四章riemann流形上的热核

4.1热方程的梯度估计

4.2harnack不等式与热核的估计

4.3热核估计的应用

第五章纯量曲率的共形形变

5.1三维情形

5.2yamalbe问题与共形不变量a(m)

5.3共形正规坐标与green函数的渐近展开

5.4yamabe问题的解决

附录sobolev不等式中的最佳常数

第六章局部共形平坦流形

6.1共形变换与局部共形平坦流形

6.2共形不变量

6.3局部共形平坦流形在sn上的嵌入

6.4局部共形平坦流形的拓扑

6.5与偏微分方程的关系

参考文献(第一至第六章)

第七章问题集

7.1曲率及流形上的拓扑

7.2曲率与复结构

7.3子流形

7.4谱

7.5与测地线有关的问题

7.6极小子流形

7.7广义相对论和yang—milh方程

参考文献

第八章几何中的非线性分析

8.1特征值与调和函数

8.2 yamabe方程及共形平坦流形

8.3调和映照

8.4极小子流形

8.5 kaihler几何

8.6复流形上的典则度量

参考文献

第九章几何中未解决的问题

9.1度量几何

9.2经典euclid几何

9.3偏微分方程

9.4 kaihler几何学

参考文献

附录i 几何学的未来发展

附录ii 几何与分析回顾

附录iii 复几何的历史及前景

索引