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简介
本书共二十章，分为初等微积分和高等微积分两个部分，可作为理工科各专业高等数学或数学分析课程教材。.
前十五章为初等微积分部分，讲述了标准的一元和多元函数的微分、积分及解微分方程，内容包括数列、函数、积分和数八种极限概念及运算法则，极限存在准则与重要极限例子；连续与间断概念及连续函数重要性质；导数、偏导数、微分概念及有关的几个微分中值定理；微分学对函数研究和解实际问题的应用；定积分、重积分、线面积分及其计算，四个重要的微积分基本定理(newton-leibnitz、 green、gauss、stokes)；积分统一处理古典几何、力学计算及对解实际问题的应用； 三个场算子的计算与实际应用；一阶微分方程初等解法；二阶线性微分方程一般理论与幂级数解法；常系数线性微分方程与方程组的解法；微分方程的实际应用等等。..
后五章为高等微积分部分，讲述了实数完备性的几个等价描述与极限理论、连续函数理论之完成；riemann可积性的darboux理论；函数序列、函数级数、含参变量积分的一致收敛性概念，其判别及对极限交换次序等的应用；fourier分析级数部分的基本知识(点点收敛、一致收敛、平均收敛、函数的fourier展开、三角函数系的完备、gibbs现象)。通过这部分内容的学习使读者在向实分析、拓扑、泛函分析等现代数学领域提升时不致感到很吃力。
本书没有集中的级数篇，而是突出了级数用来研究函数的工具功能，把它分散在有关章节里，这样目的明确，也使相关课题展开得更完整。此外，polya合情推理的使用，使得课程展开更为自然，同时还设计了七个数学实验，使读者能通过实验模仿polya的方法，体验一下发现模式、提出规律、证实猜想的研究感觉。...
目录
目录
第3篇 多元函数的微积分
第10章 多元函数微分学
10.1 关于R〓的简单知识
习题10.1
10.2 多元函数的极限
10.2.1 多元函数的概念
10.2.2 二元函数的极限——二重极限
10.2.3 二元函数的连续性
习题10.2
10.3 偏导数
习题10.3
10.4 方向导数、梯度
10.5 全微分
10.5.1 全微分
10.5.2 全微分用于近似计算
10.5.3 全微分的几何意义
习题10.5
10.6 多元复合函数的求导法则
习题10.6
10.7 隐函数的求导、隐函数存在定理
10.7.1 函数方程的情形
10.7.2 函数方程组的情形
习题10.7
10.8 偏导数的几何应用
10.8.1 空间曲线的切线与法平面
10.8.2 曲面的切平面与法线
10.8.3 曲线、曲面表成其它形式的情形
习题10.8
10.9 多元函数的Taylor公式
习题10.9
10.10 多元函数的极值
10.10.1 局部极值
10.10.2 条件极值
习题10.10
第11章 重积分
11.1 二重积分
11.1.1 曲顶柱体的体积
11.1.2 二重积分的概念
11.1.3 二重积分的性质
习题11.1
11.2 二重积分化为累次积分
习题11.2
11.3 二重积分的换元公式
习题11.3
11.4 三重积分
习题11.4
11.5 重积分的应用
11.5.1 曲面面积，面积微分公式
11.5.2 重心
11.5.3 转动惯量
11.5.4 引力
习题11.5
11.6 含参变量积分
习题11.6
11.7 n重积分
11.8 广义重积分
第12章 曲线积分与曲面积分
12.1 第一型曲线积分
12.1.1 物理背景——曲线构件的质量
12.1.2 第一型曲线积分的定义
12.1.3 第一型曲线积分的计算
习题12.1
12.2 第二型曲线积分
12.2.1 物理背景——功的计算
12.2.2 第二型曲线积分的定义
12.2.3 第二型曲线积分的计算
12.2.4 例子
12.2.5 两种类型曲线积分的关系
习题12.2
12.3 Green公式
习题12.3
12.4 平面情形与路径无关的曲线积分、全微分方程的解法
12.4.1 曲线积分与路径无关的条件
习题12.4(1)
12.4.2 全微分方程的解法
12.4.3 积分因子
习题12.4(2)
12.5 第一型曲面积分
习题12.5
12.6 第二型曲面积分
习题12.6
12.7 Gauss公式
习题12.7
12.8 Stokes公式
习题12.8
第13章 场论初步
13.1 数量场(scalar field)与向量场(vector field)
13.2 梯度(gradient)、散度(divergence)、旋度(curl、rotation)
13.2.1 数量场f的梯度
13.2.2 向量场的散度
13.2.3 向量场的旋度
13.3 正交曲线坐标系中场算子的计算
13.3.1 正交曲线坐标系
13.3.2 梯度的计算
13.3.3 散度的计算
13.3.4 旋度的计算
13.4 二阶表达式
13.4.1 grad div〓
13.4.2 div grad〓
13.4.3 div rot〓
13.4.4 rot gradf
13.4.5 rot rot〓
13.5 数量势与向量势
13.6 应用
13.6.1 Newton万有引力场
13.6.2 Coulomb静电场
13.6.3 不可压缩理想流体运动的Euler方程组
习题13.6
第4篇 常微分方程初步
第14章 二阶线性常微分方程
14.1 二阶线性微分方程
习题14.1
14.2 二阶常系数线性微分方程
14.2.1 齐次情形
习题14.2(1)
14.2.2 非齐次情形
14.2.3 Euler方程
习题14.2(2)
14.2.4 高阶常系数线性微分方程
习题14.2(3)
14.3 常系数线性微分方程组
14.3.1 消去法——转化为高阶方程
14.3.2 矩阵方法
习题14.3
14.4 线性微分方程的幂级数解法
14.4.1 正常情形
14.4.2 奇异情形
习题14.4
14.5 解一阶微分方程Cauchy问题的数值方法——Euler折线法
14.5.1 Euler折线法
14.5.2 Euler方法的误差估计
习题14.5
14.6 应用举例
第15章 Fourier级数
15.1 引言
习题15.1
15.2 Fourier级数
习题15.2
15.3 正弦展开与余弦展开
习题15.3
15.4 有限区间上函数的Fourier级数
习题15.4
第5篇 高等微积分
第16章 实数的完备性与极限理论的完成
16.1 实数系统
16.1.1 算术运算
16.1.2 序关系
16.1.3 完备性
习题16.1
16.2 实数完备性的等价表述
16.2.1 确界存在定理
16.2.2 单调有界原理
16.2.3 闭区间套定理
16.2.4 Cantor的实数完备性
习题16.2
16.3 极限理论的完成——极限存在的Cauchy准则
习题16.3
16.4 上、下极限
习题16.4
第17章 连续函数
17.1 连续与间断
习题17.1
17.2 连续函数的重要性质
习题17.2
17.3 一致连续性
习题17.3
第18章 可积函数
18.1 Darboux和数
习题18.1
18.2 可积性准则
习题18.2
18.3 可积函数
习题18.3
第19章 一致收敛性
19.1 一致收敛的概念
习题19.1
19.2 一致收敛的函数序列与函数级数所具有的性质
习题19.2
19.3 一致收敛的判别
习题19.3
19.4 对幂级数的应用
习题19.4
19.5 应用(1)——连续函数空间C[a,b]
习题19.5
19.6 应用(2)——一阶常微分方程Cauchy问题解的存在惟一性
习题19.6
19.7 应用(3)——隐函数存在定理
习题19.7
19.8 连续变化过程中的一致收敛
习题19.8
第20章 Fourier分析基本知识
20.1 Fourier级数的点点收敛
20.1.1 Fourier级数部分和的Dirichlet积分表示
20.1.2 Dirichlet核的某些性质
20.1.3 Riemann-Lebesgue引理
20.1.4 Riemann局部性定理
20.1.5 Dirichlet判别法
习题20.1
20.2 Fourier级数的一致收敛
20.2.1 函数Fourier系数的极值性质
20.2.2 Fourier级数的一致收敛
20.2.3 函数光滑的程度与Fourier级数收敛速度的关系
20.3 Gibbs现象
20.4 Fourier级数的逐项积分与逐项微分
20.4.1 逐项积分
20.4.2 函数的三角级数展开与Fourier级数的关系
20.4.3 逐项微分
习题20.4
20.5 Fourier级数的平均收敛
20.5.1 Weierstrass第二逼近定理
20.5.2 平均收敛的概念
20.5.3 Fourier级数的平均收敛
习题20.5
20.6 Fourier级数的复数形式与Fourier变换
20.6.1 有限Fourier变换
20.6.2 Fourier变换的概念
参考书目
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第3篇 多元函数的微积分
第10章 多元函数微分学
10.1 关于R〓的简单知识
习题10.1
10.2 多元函数的极限
10.2.1 多元函数的概念
10.2.2 二元函数的极限——二重极限
10.2.3 二元函数的连续性
习题10.2
10.3 偏导数
习题10.3
10.4 方向导数、梯度
10.5 全微分
10.5.1 全微分
10.5.2 全微分用于近似计算
10.5.3 全微分的几何意义
习题10.5
10.6 多元复合函数的求导法则
习题10.6
10.7 隐函数的求导、隐函数存在定理
10.7.1 函数方程的情形
10.7.2 函数方程组的情形
习题10.7
10.8 偏导数的几何应用
10.8.1 空间曲线的切线与法平面
10.8.2 曲面的切平面与法线
10.8.3 曲线、曲面表成其它形式的情形
习题10.8
10.9 多元函数的Taylor公式
习题10.9
10.10 多元函数的极值
10.10.1 局部极值
10.10.2 条件极值
习题10.10
第11章 重积分
11.1 二重积分
11.1.1 曲顶柱体的体积
11.1.2 二重积分的概念
11.1.3 二重积分的性质
习题11.1
11.2 二重积分化为累次积分
习题11.2
11.3 二重积分的换元公式
习题11.3
11.4 三重积分
习题11.4
11.5 重积分的应用
11.5.1 曲面面积，面积微分公式
11.5.2 重心
11.5.3 转动惯量
11.5.4 引力
习题11.5
11.6 含参变量积分
习题11.6
11.7 n重积分
11.8 广义重积分
第12章 曲线积分与曲面积分
12.1 第一型曲线积分
12.1.1 物理背景——曲线构件的质量
12.1.2 第一型曲线积分的定义
12.1.3 第一型曲线积分的计算
习题12.1
12.2 第二型曲线积分
12.2.1 物理背景——功的计算
12.2.2 第二型曲线积分的定义
12.2.3 第二型曲线积分的计算
12.2.4 例子
12.2.5 两种类型曲线积分的关系
习题12.2
12.3 Green公式
习题12.3
12.4 平面情形与路径无关的曲线积分、全微分方程的解法
12.4.1 曲线积分与路径无关的条件
习题12.4(1)
12.4.2 全微分方程的解法
12.4.3 积分因子
习题12.4(2)
12.5 第一型曲面积分
习题12.5
12.6 第二型曲面积分
习题12.6
12.7 Gauss公式
习题12.7
12.8 Stokes公式
习题12.8
第13章 场论初步
13.1 数量场(scalar field)与向量场(vector field)
13.2 梯度(gradient)、散度(divergence)、旋度(curl、rotation)
13.2.1 数量场f的梯度
13.2.2 向量场的散度
13.2.3 向量场的旋度
13.3 正交曲线坐标系中场算子的计算
13.3.1 正交曲线坐标系
13.3.2 梯度的计算
13.3.3 散度的计算
13.3.4 旋度的计算
13.4 二阶表达式
13.4.1 grad div〓
13.4.2 div grad〓
13.4.3 div rot〓
13.4.4 rot gradf
13.4.5 rot rot〓
13.5 数量势与向量势
13.6 应用
13.6.1 Newton万有引力场
13.6.2 Coulomb静电场
13.6.3 不可压缩理想流体运动的Euler方程组
习题13.6
第4篇 常微分方程初步
第14章 二阶线性常微分方程
14.1 二阶线性微分方程
习题14.1
14.2 二阶常系数线性微分方程
14.2.1 齐次情形
习题14.2(1)
14.2.2 非齐次情形
14.2.3 Euler方程
习题14.2(2)
14.2.4 高阶常系数线性微分方程
习题14.2(3)
14.3 常系数线性微分方程组
14.3.1 消去法——转化为高阶方程
14.3.2 矩阵方法
习题14.3
14.4 线性微分方程的幂级数解法
14.4.1 正常情形
14.4.2 奇异情形
习题14.4
14.5 解一阶微分方程Cauchy问题的数值方法——Euler折线法
14.5.1 Euler折线法
14.5.2 Euler方法的误差估计
习题14.5
14.6 应用举例
第15章 Fourier级数
15.1 引言
习题15.1
15.2 Fourier级数
习题15.2
15.3 正弦展开与余弦展开
习题15.3
15.4 有限区间上函数的Fourier级数
习题15.4
第5篇 高等微积分
第16章 实数的完备性与极限理论的完成
16.1 实数系统
16.1.1 算术运算
16.1.2 序关系
16.1.3 完备性
习题16.1
16.2 实数完备性的等价表述
16.2.1 确界存在定理
16.2.2 单调有界原理
16.2.3 闭区间套定理
16.2.4 Cantor的实数完备性
习题16.2
16.3 极限理论的完成——极限存在的Cauchy准则
习题16.3
16.4 上、下极限
习题16.4
第17章 连续函数
17.1 连续与间断
习题17.1
17.2 连续函数的重要性质
习题17.2
17.3 一致连续性
习题17.3
第18章 可积函数
18.1 Darboux和数
习题18.1
18.2 可积性准则
习题18.2
18.3 可积函数
习题18.3
第19章 一致收敛性
19.1 一致收敛的概念
习题19.1
19.2 一致收敛的函数序列与函数级数所具有的性质
习题19.2
19.3 一致收敛的判别
习题19.3
19.4 对幂级数的应用
习题19.4
19.5 应用(1)——连续函数空间C[a,b]
习题19.5
19.6 应用(2)——一阶常微分方程Cauchy问题解的存在惟一性
习题19.6
19.7 应用(3)——隐函数存在定理
习题19.7
19.8 连续变化过程中的一致收敛
习题19.8
第20章 Fourier分析基本知识
20.1 Fourier级数的点点收敛
20.1.1 Fourier级数部分和的Dirichlet积分表示
20.1.2 Dirichlet核的某些性质
20.1.3 Riemann-Lebesgue引理
20.1.4 Riemann局部性定理
20.1.5 Dirichlet判别法
习题20.1
20.2 Fourier级数的一致收敛
20.2.1 函数Fourier系数的极值性质
20.2.2 Fourier级数的一致收敛
20.2.3 函数光滑的程度与Fourier级数收敛速度的关系
20.3 Gibbs现象
20.4 Fourier级数的逐项积分与逐项微分
20.4.1 逐项积分
20.4.2 函数的三角级数展开与Fourier级数的关系
20.4.3 逐项微分
习题20.4
20.5 Fourier级数的平均收敛
20.5.1 Weierstrass第二逼近定理
20.5.2 平均收敛的概念
20.5.3 Fourier级数的平均收敛
习题20.5
20.6 Fourier级数的复数形式与Fourier变换
20.6.1 有限Fourier变换
20.6.2 Fourier变换的概念
参考书目
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