高等几何简明教程

前 言 出席美国1998年科学年会的科学家和教育家认为， "21世纪的教育应当把几何学放在头等重要的地位.几何学具有较强的直观效果，有助于提高学生认识事物的能力，应当成为自然科学教育大纲中的首选和重点内容." 我国著名数学家姜伯驹曾说过：“随着科学技术的发展，数学课程要不断改革.其中以几何课程的改革问题争议最多，难度最大.中学如此，大学也如此；中国如此，外国也如此.数学本是几何、代数、分析有机地结合的整体，人们往往看重代数的、分析的方法，而容易忽略几何的观念.其实，无论在数学史上还是在当代数学中，数学思想的飞跃和突破常常是与几何学联系在一起的." 按照习惯，高等几何与高等代数、高等微积分并称“三高”.1993年9月，徐州师范大学数学系《高等几何》课程被校课程建设委员会确定为第三批20门重点课程之一，1996年1月验收合格.根据数学系的实际情况，系领导确定《高等几何》课程包含《空间解析几何》和《平面射影几何》两门课程.为了使重点课程建设再上一个新台阶，根据原国家教委面向21世纪教学内容和课程体系改革的要求，有必要进一步把《空间解析几何》和《射影几何》两门几何课程从教材上合并为《高等几何》一门课程，为此，编者在多年使用的自编教材的基础上，以“减少课程、压缩学时、精简内容、突出重点、加强基础、开阔视野”为宗旨，编写这本符合原国家教委下达的经全国44所高师本科院校讨论过的《普通高等师范学校数学教育专业(本科)教育教学基本要求》的简明新教材，定名为《高等几何简明教程》，并于1998年10月作为徐州师范大学重点教材正式立项.该书根据高等师范院校的特点和需要，把空间解析几何和平面射影几何及几何基础简介合为一体，共分九章及三个附录.前三章(向量代数、平面与空间直线、常见曲面)属于欧氏空间解析几何；后六章(平面上的仿射变换、射影平面、射影变换、变换群与几何学、二阶曲线的射影理论、二阶曲线的仿射理论和度量理论)属于平面射影几何，讲授方法兼用综合法与代数法，但是侧重代数法；附录I(线性代数有关概念和结论)是本课程所要用到的一些代数知识，只介绍方法和结论，不作证明；附录II(二次曲线方程的化简与度量分类)作为欧氏平面解析几何的补充，但不讨论二次曲线的中心、渐近线、直径、主轴等几何性质，而是在第九章讨论.附录III(射影几何基础与非欧几何概要)属于几何基础简介. 《高等几何简明教程》有三个特点.首先是体系新颖，一方面把传统的三门几何课程《解析几何》、《射影几何》、《几何基础》合为一体，另一方面采用射影平面的解析定义，用与度量无关的射影坐标定义交比(从而保持了射影几何固有的独立性)，把拓广的欧氏平面作为射影平面的一个模型，并给出交比的欧氏几何解释，从而进一步揭示出射影几何与初等几何和欧氏平面解析几何之间的密切联系.其次是简明扼要，书中区别不同情况，有些定理明确指出证明从略(只要求理解或了解，如有关向量线性相关的若干定理、达布定理、斯丹纳定理等)，有些定理只给出直观解释，而某些重要定理则尽可能给出严谨而简明的证明(如向量积的分配律、两异面直线公垂线的存在性和唯一性等), 本书篇幅只相当于传统教材的一半左右.第三个特点是密切联系高等代数、欧氏平面解析几何和初等几何，叙述深入浅出、条理清晰、重点突出、例题较多(全书共有150多道)，力求做到易教易学(带*号的内容机动性较强，有的可由教师讲授，有的可让学生自学或仅供参考)，书末还附有习题答案与提示供参考。 《高等几何》这门课程对于未来的中学数学教师而言，在几何方面的基础的培养(公理法思想，坐标概念扩充，齐次坐标应用，坐标变换与点变换，对偶原理，交比与调和比，极点与极线，配极理论，二阶曲线的分类等)、眼界的开阔(扩大几何视野，了解欧氏几何在几何中的位置，理解仿射几何和欧氏几何都是射影几何的子几何，了解有关射影几何的系统表及罗氏几何的射影模型等)、观点的提高(掌握克莱因的变换群观点，明确射影、仿射、欧氏三种几何间的关系，从而提高对中学几何内容的认识，学会用射影观点解决欧氏平面解析几何问题的方法等)、思维的灵活(由高度概括的射影几何定理演化成初等几何和欧氏平面解析几何中许多命题，如从笛沙格定理出发可得到欧氏几何里的12条定理，仅用直尺作圆、椭圆、双曲线、抛物线的切线，在一定条件下仅用直尺可作平行线及线段的中点等)、方法的多样(利用射影几何中三大著名定理--笛沙格定理、巴普斯定理、巴斯加定理，中心射影法，透视对应，完全四点形的调和性质，配极变换等，都可以证明有关共线点和共点线的问题)将起重要的作用.本书可供高等师范院校数学教育专业(本、专科)选作教材或参考书，也可供中学数学教师参考. 本书的编写和出版，得到了徐州师范大学教务处和数学系领导的大力支持和帮助.特别要感谢校长周明儒教授、系主任王戈平教授、党总支书记王慈副教授、副主任张福保博士和朱江博士及车素兵副教授，还要感谢几何教研室的吴报强教授、施宝靖苯淌凇⒄庞裰副教授、张运涛老师、薛芳老师，没有他们的支持，本书就不可能顺利出版. 限于编者的水平，本书一定还存在不少缺点甚至错误，欢迎使用本书的老师和同学批评指正. 吴子汇 徐旭峰 1999年7月