数学的思想、方法和应用

目录
第3版序言
第2版前言
序
前言
数学新论
绪论
1 概论
2 数学发展简史
第一章 数系与第一次数学危机
1 数系
1.1 自然数与整数
1.2 有理数与无理数
1.3 实数
2 毕达哥拉斯学派关于数的认识
3 第一次数学危机
4 第一次数学危机的消除
5 反证法
习题
第二章 连分数及其在天文学上的应用
1 辗转相除法
2 连分数
2.1 引言
2.2 简单连分数和它的渐近分数
3 连分数在天文学上的应用
3.1 为什么四年一闰,而百年又少一闰?
3.2 农历的月大月小、闰年闰月
3.3 二十四节气
3.4 闰月放在哪?
3.5 日月食
3.6 干支纪年
习题
第三章 数学命题和证明方法
1 概念,概念的外延和内涵
2 等价关系与分类(划分)
3 定义
4 公理
5 定理
5.1 定理的结构
5.2 定理的形式
5.3 定理的互逆性
习题
6 充分条件和必要条件
6.1 充分的特征
6.2 必要的特征
6.3 必要而且充分的特征
习题
7 演绎法
8 分析与综合
9 归纳法
10 数学归纳法
习题
第四章 欧氏几何与第五公设
1 几何学的诞生
2 几何学的研究对象和研究方法
3 欧几里得的《原本》
4 第五公设
5 非欧几里得几何的诞生
6 罗巴切夫斯基的解答
7 非欧几何的相容性
8 黎曼的非欧几何
9 非欧几何诞生的意义
进入高等数学
第五章 线性代数初步
1 二元一次联立方程组与二阶行列式
2 三元一次联立方程组与三阶行列式
习题
3 行列式的性质
3.1 矩阵、行列式、余子式
3.2 按代数余子式展开行列式
3.3 行列式的性质
习题
4 高斯消元法
4.1 消元法
4.2 线性方程组的增广矩阵
4.3 高斯消元法
4.4 高斯-若当消元法
习题
5 矩阵代数
5.1 矩阵
5.2 矩阵的加法与数乘矩阵
5.3 矩阵的乘法
5.4 逆矩阵
5.5 线性方程组
习题
第六章 空间解析几何
1 空间直角坐标系
1.1 空间直角坐标系
1.2 点的坐标
习题
2 向量代数
2.1 标量与向量
2.2 向量的加减法
2.3 开普勒三定律
2.4 开普勒第二定律的牛顿证明
2.5 向量的数乘运算
2.6 向量在轴上的投影
2.7 向量的坐标
2.8 向量的模与方向余弦
2.9 向量的数量积
2.10 向量的叉乘
2.11 混合积
习题
3 平面
3.1 点法式方程
3.2 一般式方程
3.3 截距式方程
3.4 两平面间的关系
习题
4 空间中的直线
4.1 直线的参数方程
4.2 直线的标准方程
4.3 直线的一般方程
4.4 三元一次联立方程组的几何解释
习题
5 二次曲面
5.1 图形与方程
5.2 球面
5.3 椭球面
5.4 平行截口法
5.5 椭圆抛物面
5.6 单叶双曲面
5.7 双叶双曲面
5.8 双曲抛物面
5.9 二次柱面
5.10 二次锥面
5.11 二次曲面小结
习题
6 应用一瞥
6.1 望远镜设计
6.2 空中定位
6.3 机器人与几何学
6.4 青光眼的诊断
微积分初步
第七章 函数与极限
1 预备知识
1.1 区间
1.2 绝对值
1.3 邻域
2 函数
2.1 变量与常量
2.2 函数概念
2.3 单调函数
2.4 函数的奇偶性
2.5 反函数
2.6 常数函数与线性函数
2.7 基本初等函数的图形
2.8 复合函数与初等函数
3 极限概念
3.1 抛物线下的面积
3.2 序列的极限
3.3 切线问题
3.4 函数的极限
3.5 单边极限
3.6 极限的四则运算
3.7 极限存在准则及两个重要极限
习题
4 函数的连续性
4.1 连续性的概念
4.2 在闭区间上连续函数的性质
5 再论函数与极限
5.1 函数
5.2 极限
第八章 导数
1 引言
2 预备知识
2.1 △符号
2.2 平均变化率
习题
3 导数概念
3.1 瞬时速度
3.2 再论切线问题
3.3 导数定义
3.4 可导与连续
4 导数公式
4.1 常数函数的导数
4.2 函数f(x)=x的导数
4.3 幂函数的导数
4.4 导数的四则运算
4.5 链锁法则
4.6 高阶导数
习题
5 三角函数的导数公式
5.1 正弦函数
5.2 余弦函数
5.3 正切函数
5.4 余切函数
习题
6 指数函数与对数函数的导数公式
6.1 对数函数
6.2 指数函数
6.3 幂函数
7 反三角函数的导数公式
7.1 反正弦函数
7.2 反余弦函数
7.3 反正切函数
7.4 反余切函数
习题
8 基本公式表
8.1 基本初等函数的求导公式
8.2 导数运算法则
9 相对变化率
习题
10 微商中值定理场
10.1 函数的局部极值,费马定理
10.2 中值定理
11 利用导数研究函数
11.1 函数的单调性
11.2 极值点的判别
11.3 曲线的凹凸
11.4 曲线的渐近线
11.5 函数的图形
11.6 在经济学中的应用
11.7 极值的应用
习题
第九章 微分
1 微分定义
2 微分公式
3 基本初等函数微分表
4 微分的应用
习题
5 再论导数与微分
5.1 导数与微分的概念
5.2 导数与微分小结
第十章 不定积分
1 基本概念
2 不定积分的简单运算法则
3 基本初等函数的不定积分表
4 第一换元积分法
习题
5 第二换元积分法
习题
6 分部积分法
习题
第十一章 定积分
1 定积分的定义
1.1 面积问题
1.2 路程问题
1.3 定积分的定义
1.4 定积分的几何意义
2 定积分的简单性质
3 微积分基本定理
习题
4 定积分的换元积分法与分部积分法
4.1 换元积分法
4.2 分部积分法
习题
5 定积分的应用
5.1 如何建立积分式
5.2 平面图形的面积
5.3 旋转体的体积
5.4 平均值
习题
6 无穷限积分
7 再论微分学与积分学
7.1 微分学
7.2 积分学
随机性数学
第十二章 概率论初步
1 随机现象
1.1 必然现象与随机现象
1.2 随机实验
1.3 随机事件
2 事件的关系与运算
2.1 基本事件与复杂事件
2.2 事件的集合表示,样本空间
2.3 事件的相等与包含
2.4 事件的和、积与差
2.5 对立事件
2.6 互不相容事件完备组
2.7 运算法则
习题
3 概率
3.1 概率的概念
3.2 概率的统计定义
3.3 概率的性质
3.4 古典概型
3.5 几何概率
3.6 概率的数学定义
3.7 条件概率与乘法公式
3.8 独立性
3.9 全概率公式
3.10 逆概率公式(贝叶斯公式)
习题
4 随机变量及其分布
4.1 随机变量
4.2 两点分布
4.3 二项分布
4.4 连续型随机变量
4.5 正态分布
4.6 正态分布的分布函数
4.7 从平均数到数学期望
4.8 连续型随机变量的数学期望
4.9 随机变量的方差
4.10 几种随机变量的方差
4.11 正态分布的应用
习题
5 两个实例
5.1 色盲的遗传问题
5.2 孟德尔遗传定律
面向实际
第十三章 数学模型
1 选票分配
1.1 选举悖论
1.2 选票分配问题
1.3 亚拉巴马悖论
2 体育训练问题
3 指数增长与衰减问题
3.1 一个简单的微分方程
3.2 人口模型
3.3 考古学中的应用
3.4 牛顿冷却定律
3.5 范·米格伦伪造名画案
3.6 再论人口模型
3.7 新产品销售模型
习题
第十四章 数学的地位和作用
1 数学教育
1.1 关于素质教育
1.2 数学素养
1.3 数学是思维的工具
1.4 数学与美
1.5 数学提供了有特色的思考方式
1.6 培养四种本领
1.7 数学与就业
1.8 当前科学发展的主要趋势
2 自然数是万物之母
2.1 数学的重要性
2.2 古希腊的数学
3 数学与自然科学
3.1 宇宙的和谐
3.2 物理学
3.3 生物学
4 数学与人文科学
4.1 数学与西方政治
4.2 人口论
4.3 统计方法
5 数学与艺术
5.1 傅里叶的功绩
5.2 数学与绘画
5.3 从艺术中诞生的科学
6 笛卡儿的方法论及其影响
附表 标准正态分布表
附录 习题答案与提示
参考书目