微积分学.上

绪论

预备知识

1 实数集

1．1 实数、数集(5)

1．2 实数的性质(5)
1．3 距离、绝对值、邻域(7)

1．4 区间(8)

1．5 有界数集、上确界与下确界(9)

2 几个简写符号

习 题

第一章 函数

1 函数概念

1．1 函数的定义(12)

1．2 函数的图形(14)

2 几类有某种特性的函数

2．1 单调函数(15)

2．2 有界函数(16)

2．3 奇函数与偶函数(16)

2．4 周期函数(16)

3 反函数、复合函数

.3．1 反函数(17)

3．2 复合函数(19)

4 初等函数(19)

4．1 基本初等函数(19)

4．2 初等函数(21)

4．3 函数图形的合成法(23)

4．4 实例(23)

习题一

第二章 极限与连续

1 数列的极限

1．1 数列极限的定义(30)

1．2 收敛数列的性质(33)

1．3 子数列(34)

1．4 几类有特性的数列(35)

1．5 数列极限存在性的条件(37)

2 函数的极限(40)

2．1 函数极限的定义(40)

2．2 函数极限与数列极限的关系(45)

2．3 函数极限的性质(46)

2．4 重要极限

2．5 函数极限存在性的条件(47)

3 无穷小与无穷大(49)

3．1 无穷小(49)

3．2 无穷大(50)

3．3 无穷大与无穷小的关系(51)

4 极限的运算

4．1 函数极限的四则运算法则(52)

4．2 复合函数的极限(56)

4．3 重要极限

5 函数的连续性

5．1 函数连续的定义(58)

5．2 函数的间断点(59)

5．3 闭区间上连续函数的性质(60)

5．4 初等函数的连续性(61)

6 无穷小的比较

6．1 无穷小的阶的概念(63)

6．2 等价无穷小的替代法则(64)

7 函数的一致连续性

* 8 闭区间上连续函数性质的证明

习题二

第三章 导数与微分

1 导数概念

1．1 导数的定义(78)

1．2 可导与连续的关系(80)

2 导数的运算

2．1 几个基本初等函数的导数公式(82)

2．2 导数的四则运算法则(83)

2．3 反函数的求导法则(84)

2．4 复合函数的求导法则(85)

2．5 基本导数公式表(87)

3 隐函数与参数式函数的求导法则

3．1 隐函数的求导法则(88)

3．2 参数式函数的求导法则(90)

4 高阶导数

4．1 高阶导数概念(92)

4．2 高阶导数的运算法则(94)

5 微分

5．1 微分概念(96)

5．2 微分基本公式和运算法则(97)

5．3 微分在近似计算中的应用(99)

5．4 高阶微分(100)

习题三

第四章 微分中值定理与导数应用

1 微分中值定理

1．1 罗尔定理(109)

1．2 拉格朗日中值定理(110)

1．3 柯西中值定理(112)

2 洛比达法则

2．1 型未定式(114)

2．2 型未定式(116)

2．3 其它未定式(118)

3 泰勒公式

3．1 泰勒定理(119)

3．2 几个常用函数的马克劳林公式(121)

3．3 泰勒公式应用举例(123)

4 函数的增减性与极值

4．1 函数增减性的判定法(125)

4．2 函数的极值(127)

4．3 最大值与最小值问题(130)

5 曲线的凹向与函数图形的描绘

5．1 曲线的凹向与拐点(133)

5．2 函数图形的描绘(135)

6 曲率、曲率圆

6．1 曲率的概念(139)

6．2 曲率圆(141)

*6．3 渐屈线和渐伸线(142)

7 方程实根的近似计算

7．1 二分法(对分法)(144)

7．2 切线法(145)

7．3 简单迭代法(147)

习题四

第五章 不定积分

1 原函数与不定积分的概念

1．1 原函数与不定积分的定义(156)

1．2 不定积分的性质(158)

1．3 基本积分公式表(158)

2 基本积分方法

2．1 凑微分法(第一换元法)(161)

2．2 换元法(164)

2．3 分部积分法(167)

3 若干初等可积函数类

3．1 有理函数的积分(171)

3．2 三角函数有理式的积分(174)

3．3 某些无理函数的积分(176)

习题五

第六章 定积分及其应用

1 定积分的概念

1. 1 定积分概念的引入(183)

1．2 定积分的定义(185)

1．3 定积分存在的条件(186)

2 定积分的性质

3 微积分学基本定理 牛顿-莱布尼兹公式

4 定积分的计算法

4．1 定积分的换元法(194)

4．2 定积分的分部积分法(196)

4．3 几个定积分简化计算的公式(197)

5 定积分在几何上的应用

5．1 建立积分表达式的微元法(199)

5．2 平面图形的面积(200)

5．3 已知平行截面面积求立体体积(203)

5．4 平面曲线的弧长(205)

6 定积分在物理上的应用

6．1 液体的侧压力(209)

6．2 变力作功(210)

6．3 某些密度分布不均匀的质量问题(211)

6．4 引力(212)

6．5 连续函数在闭区间[a，b]上的平均值(213)

7 定积分的近似计算

7．1 矩形法(214)

7．2 梯形法(214)

7．3 抛物线法(辛普生(simpson)法)(215)

8 广义积分

8．1 无穷区间上的广义积分(217)

8．2 无界函数的广义积分(219)

8．3 广义积分敛散性的判别法(221)

8．4 函数(224)

习题六

第七章 微分方程

1 基本概念

1．1 实例(235)

1．2 微分方程、阶、解(237)

2 一阶微分方程

2．1 变量可分离的方程(238)

2．2 齐次变量型方程(240)

2．3 一阶线性方程(243)

2．4 贝努里方程(245)

3 微分方程的降阶法

3．1 几种可降阶的特殊类型(246)

3．2 二阶线性方程的降阶法(250)

4 线性微分方程通解的结构

4．1 实例(251)

4．2 线性微分方程通解的结构(253)

5 常系数线性微分方程

5．1 常系数线性齐次方程(256)

5．2 常系数线性非齐次微分方程(259)

6 二阶线性微分方程的常数变易法

7 欧拉方程、变量替换法

7．1 欧拉方程(268)

7．2 变量替换法(268)

8 微分方程组

习题七

习题答案