理工类硕士研究生入学考试数学综合复习解题指南

目录
第1章 求极限的方法与技巧
1—1 函数的极限
一 初等变换法
二 无穷小替换法
三 罗必达(L’Hospital)法则
四 利用泰勒(Taylor)公式
五 利用导数的定义
1—2 数列的极限
一 利用海涅(Heine)定理
二 利用单调有界准则
三 利用两边夹准则
四 利用定积分的定义
五 利用积分中值定理
1—3 几类典型问题
一 极限的存在性
二 无穷小的阶的比较
三 极限的局部逆问题
第2章 函数及其连续性
2—1 函数的概念与基本性质
一 求函数的定义域
二 函数符号的运用
三 函数的基本特性
2—2 函数的连续性
2—3 函数的间断点及其类型
2—4 闭区间上连续函数性质的应用
第3章 一元函数微分学
3—1 导数与微分的计算方法
一 利用导数的定义求导数
二 用导数的运算法则求导数
三 对数求导法
四 高阶导数的计算
五 微分的计算方法
3—2 微分中值定理及其应用
3—3 导数的应用
一 求曲线的切线与法线方程
二 讨论函数的单调性，求函数的极值
三 判定曲线的凹凸性，求曲线的拐点
四 描绘函数的图形
五 求曲线的曲率、曲率半径、曲率中心
六 确定函数的最大值与最小值
第4章 一元函数积分学
4一1 不定积分法
一 直接积分法
二 凑微分法
三 换元积分法
四 分部积分法
五 部分分式法
4—2 定积分的计算与典型问题的求解
一 计算定积分的基本方法
二 计算分段函数的定积分
三 计算定积分的若干技巧
四 定积分中的几类典型问题
4—3 广义积分的计算方法
第5章 微分方程
5—1 一阶微分方程的解法
一 可分离变量方程的解法
二 齐次方程的解法
三 一阶线性微分方程的解法
四 全微分方程的解法
5—2 高阶微分方程的解法
一 几种可降阶的高阶微分方程的解法
二 高阶线性微分方程解的结构及其应用
三 高阶常系数线性齐次微分方程的解法
四 高阶常系数线性非齐次微分方程的解法
五 欧拉(Euler)方程的解法
六 线性微分方程组的解法
5—3 微分方程的应用
一 利用微分方程求解函数方程
二 利用微分方程求解几何问题
三 利用微分方程求解物理问题
第6章 两类典型问题的论证方法
6—1 不等式
一 利用微分法证明不等式
二 利用积分法证明不等式
三 利用幂级数证明不等式
6—2 介值存在性问题的论证方法
一 确定函数的零点(方程的根)
二 几何问题
三 双介值问题
四 区间变换问题
五 含有介值的不等式
6—3 构造辅助函数的三种方法
一 参数变易法
二 不定积分法
三 微分方程法
第7章 向量代数与空间解析几何
7—1 向量代数
一 向量的基本运算
二 证明恒等式或简化算式
三 利用向量方法求解几何问题
7—2 空间直线与平面
一 基本方法
二 待定参数法
三 平面束法
四 向量投影法
五 辅助平面法
7—3 曲面与方程
一 典型二次曲面
二 一般旋转曲面
第8章 多元函数微分学
8—1 二元函数的极限
一 讨论二重极限的存在性
二 求二重极限的方法
8—2 多元函数微分法
一 讨论二元函数的连续性、可导性与可微性的关系
二 求复合函数的偏导数的方法
三 求隐函数的偏导数的方法
四 求高阶偏导数的方法
五 求方向导数的方法
8—3 多元函数微分法的应用
一 求曲面的切平面方程与法线方程
二 求空间曲线的切线方程与法平面方程
三 求二元函数极值的方法
四 求二元函数在有界闭区域上的最大值与最小值的方法
五 多元函数条件极值的应用
第9章 重积分的计算方法
9—1 二重积分的基本计算方法
一 利用直角坐标计算二重积分
二 利用极坐标计算二重积分
9—2 三重积分的基本计算方法
一 利用直角坐标计算三重积分
二 利用柱面坐标计算三重积分
三 利用球面坐标计算三重积分
9—3 计算重积分的几种典型技巧
一 利用“先二后一法”计算三重积分
二 利用重积分的对称性简化计算
三 重积分的积分区域的剖分
9—4 逐次积分的计算方法
一 主观型交换积分次序
二 客观型交换积分次序
三 应用型交换积分次序
第10章 曲线积分与曲面积分
10—1 第一类曲线积分与第一类曲面积分
一 第一类曲线积分的基本计算方法
二 第一类曲面积分的基本计算方法
三 曲线积分与曲面积分的对称性
10—2 第二类曲线积分
一 利用基本公式化为定积分计算
二 利用格林(Green)公式计算
三 利用选择适当路径法计算
四 曲线积分中的不等式
10—3 第二类曲面积分
一 基本计算方法
二 利用高斯(Gauss)公式计算
三 类型转换法
四 投影转换法
10—4 空间曲线上的第二类曲线积分的计算
一 基本计算方法
二 利用斯托克斯(Stokes)公式
三 利用积分曲线投影法
10—5 梯度、散度与旋度
一 梯度(gradient)
二 散度(dlvergence)
三 旋度(rotation)
第11章 积分学中的各种应用问题
11—1 积分学在几何中的应用
一 求平面图形的面积
二 求空间区域的体积
三 求曲线的弧长
四 求曲面的面积
11—2 积分学在物理中的应用
一 求物体的质量与重心
二 求变力所做的功
三 求转动惯量
四 利用元素法求引力
第12章 无穷级数
12一1 常数项级数的审敛法
一 利用级数的基本性质判定级数的敛散性
二 正项级数的审敛法
三 一般数项级数的审敛法
12—2 幂级数
一 求幂级数的收敛域
二 求幂级数的和函数
三 求函数的幂级数展开式
12—3 傅立叶(Fourier)级数
一 傅立叶级数的收敛定理及其应用
二 将周期为2l的函数展成傅立叶级数的方法
三 将函数在[-l,l]上展成傅立叶级数的方法
四 将函数在[0，l]上展成正弦级数或余弦级数的方法
12—4 求常数项级数之和
一 利用级数收敛的定义求常数项级数的和
二 利用幂级数求常数项级数的和
三 利用傅立叶级数求常数项级数的和
第13章 行列式与矩阵运算
13—1 行列式的计算
一 基本概念与重要结论
二 利用降阶法计算行列式
三 利用化三角法计算行列式
四 计算行列式的其他方法
13—2 矩阵运算
一 基本概念与重要结论
二 矩阵的运算
三 分块矩阵的运算
四 矩阵的秩
第14章 n维向量空间与线性方程组
14—1 向量组的线性相关性
一 基本概念与重要结论
二 向量的运算
三 判定向量组线性相关性的方法
四 极大无关组与向量组的秩
14—2 n维向量空间
一 基本概念与重要结论
二 求向量在基下的坐标的方法
三 过渡矩阵与坐标变换
四 正交向量组与正交矩阵
14—3 线性方程组
一 基本概念与重要结论
二 利用克莱姆法则求解线性方程组
三 利用初等行变换求解线性方程组
四 将一个向量用一向量组线性表示的方法
五 线性方程组的若干应用问题
第15章 相似矩阵与二次型
15—1 矩阵的特征值和特征向量
一 基本概念与重要结论
二 矩阵的特征值与特征向量
三 矩阵的相似对角化
15—2 二次型
一 基本概念与重要结论
二 二次型及其矩阵表示
三 二次型的标准形
四 正定二次型与正定矩阵
第16章 随机事件和概率
16—1 随机事件及其概率
一 基本概念与重要结论
二 利用基本性质计算概率
三 利用古典定义与几何定义计算概率
16—2 乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式
一 基本概念与重要结论
二 利用条件概率与乘法公式计算概率
三 利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率
四 利用事件的独立性计算概率
五 利用二项概率公式计算概率
第17章 随机变量的概率分布和数字特征
17—1 随机变量及其概率分布
一 基本概念与重要结论
二 求随机变量的分布律与分布函数
三 利用概率分布求事件的概率
四 求联合分布、边缘分布与条件分布
五 求随机变量函数的概率分布
17—2 随机变量的数字特征与极限定理
一 基本概念与重要结论
二 利用性质求随机变量的期望、方差及相关系数
三 利用分布求随机变量的期望、方差及相关系数
四 求随机变量函数的数学期望与方差
第18章 数理统计初步
18—1 随机样本与抽样分布
一 基本概念与重要结论
二 抽样分布的典型问题
18—2 参数估计与假设检验
一 基本概念与重要结论
二 估计量的评选标准
三 参数估计
四 假设检验
第19章 数学解题策略与综合题选析
19—1 高等数学解题策略
一 适时利用初等变换技巧
二 注重借助几何直观性
三 充分挖掘隐含条件
四 灵活运用反证法
五 善于捕捉辅助信息
19—2 数学综合考研题选析
第20章 选择题集萃
附录
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学试题及其解答
数学(一)试题
数学(一)参考解答
数学(二)试题
数学(二)参考解答
数学(三)试题
数学(三)参考解答
数学(四)试题
数学(四)参考解答
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学试题及其解答
数学(一)试题
数学(一)参考解答
数学(二)试题
数学(二)参考解答
数学(三)试题
数学(三)参考解答
数学(四)试题
数学(四)参考解答
习题答案与提示
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