简介
Aus den Rezensionen der englischen Auflage:Dieses Lehrbuch ist eine Einf眉hrung in das Wissenschaftliche Rechnen und diskutiert Algorithmen und deren mathematischen Hintergrund. Angesprochen werden im Detail nichtlineare Gleichungen, Approximationsverfahren, numerische Integration und Differentiation, numerische Lineare Algebra, gew枚hnliche Differentialgleichungen und Randwertprobleme. Zu den einzelnen Themen werden viele Beispiele und 脺bungsaufgaben sowie deren L枚sung pr盲sentiert, die durchweg in MATLAB formuliert sind. Der Leser findet daher nicht nur die graue Theorie sondern auch deren Umsetzung in numerischen, in MATLAB formulierten Code.MATLAB select 2003, Issue 2, p. 50. [Die Autoren] haben ein ausgezeichnetes Werk vorgelegt, das MATLAB vorstellt und eine sehr n眉tzliche Sammlung von MATLAB Funktionen f眉r die L枚sung fortgeschrittener mathematischer und naturwissenschaftlicher Probleme bietet. [...]Die Pr盲sentation des Stoffs ist durchg盲ngig gut und leicht verst盲ndlich und beinhaltet L枚sungen f眉r die 脺bungen am Ende jedes Kapitels. Als exzellenter Neuzugang f眉r Universit盲tsbibliotheken- und Buchhandlungen wird dieses Buch sowohl beim Selbststudium als auch als Erg盲nzung zu anderen MATLAB-basierten B眉chern von gro脽em Nutzen sein. Alles in allem: Sehr empfehlenswert. F眉r Studenten im Erstsemester wie f眉r Experten gleichermassen.S.T. Karris, University of California, Berkeley, Choice 2003.
目录
1 Was man wissen sollte p. 1
1.1 Reelle Zahlen p. 1
1.1.1 Wie wir sie darstellen p. 2
1.1.2 Wie wir mit Floating-Point-Zahlen rechnen p. 4
1.2 Komplexe Zahlen p. 6
1.3 Matrizen p. 8
1.3.1 Vektoren p. 12
1.4 Reelle Funktionen p. 14
1.4.1 Nullstellen p. 15
1.4.2 Polynome p. 17
1.4.3 Integration und Differentiation p. 19
1.5 Irren ist nicht nur menschlich p. 21
1.5.1 Sprechen wir 眉ber Kosten p. 24
1.6 Einige Worte zu MATLAB p. 27
1.6.1 MATLAB-Statements p. 29
1.6.2 Programmieren in MATLAB p. 31
1.7 Was wir nicht erw盲hnt haben p. 35
1.8 Aufgaben p. 35
2 Nichtlineare Gleichungen p. 37
2.1 Das Bisektionsverfahren p. 39
2.2 Das Newton-Verfahren p. 42
2.2.1 Abbruchkriterien f眉r das Newton-Verfahren p. 44
2.3 Fixpunktiterationen p. 47
2.3.1 Wie wir die Fixpunktiteration abbrechen p. 50
2.4 Beschleunigung mit dem Aitken-Verfahren p. 51
2.5 Algebraische Polynome p. 55
2.5.1 Das Horner-Schema p. 56
2.5.2 Das Newton-Horner-Verfahren p. 58
2.6 Was wir nicht erw盲hnt haben p. 61
2.7 Aufgaben p. 62
3 Approximation von Funktionen und Daten p. 65
3.1 Interpolation p. 67
3.1.1 Polynomiale Lagrange-Interpolation p. 68
3.1.2 Chebyshev-Interpolation p. 74
3.1.3 Trigonometrische Interpolation und FFT p. 75
3.2 St眉ckweise lineare Interpolation p. 80
3.3 Approximation durch Spline-Funktionen p. 81
3.4 Das Verfahren der kleinsten Quadrate p. 84
3.5 Was wir nicht erw盲hnt haben p. 89
3.6 Aufgaben p. 90
4 Numerische Differentiation und Integration p. 93
4.1 Approximation der Ableitung p. 94
4.2 Numerische Integration p. 96
4.2.1 Die Mittelpunktsformel p. 97
4.2.2 Die Trapezformel p. 99
4.2.3 Die Simpson-Formel p. 102
4.3 Die adaptive Simpson-Formel p. 105
4.4 Was wir nicht erw盲hnt haben p. 109
4.5 Aufgaben p. 110
5 Lineare Systeme p. 113
5.1 Die LU-Faktorisierung p. 116
5.2 Pivoting p. 123
5.3 Wie genau ist die LU-Faktorisierung? p. 125
5.4 Wie man ein tridiagonales System lost p. 130
5.5 Iterative Verfahren p. 132
5.5.1 Wie man ein iteratives Verfahren konstruiert p. 133
5.6 Wann soll ein iteratives Verfahren abgebrochen werden? p. 137
5.7 Das Richardson-Verfahren p. 140
5.8 Was wir nicht erw盲hnt haben p. 143
5.9 Aufgaben p. 144
6 Eigenwerte und Eigenvektoren p. 147
6.1 Das Potenzverfahren p. 150
6.1.1 Konvergenzanalyse p. 152
6.2 Verallgemeinerung des Potenzverfahrens p. 153
6.3 Wie man den Shift berechnet p. 156
6.4 Die Berechnung aller Eigenwerte p. 158
6.5 Was wir nicht erw盲hnt haben p. 159
6.6 Aufgaben p. 160
7 Gew枚hnliche Differentialgleichungen p. 163
7.1 Das Cauchy-Problem p. 165
7.2 Das Euler-Verfahren p. 166
7.2.1 Konvergenzanalyse p. 168
7.3 Das Crank-Nicolson-Verfahren p. 172
7.4 Nullstabilit盲t p. 173
7.5 Stabilit盲t auf unbeschrankten Intervallen p. 175
7.5.1 Bereiche absoluter Stabilit盲t p. 178
7.5.2 Absolute Stabilit盲t kontrolliert St枚rungen p. 179
7.6 Verfahren h枚herer Ordnung p. 186
7.7 Pr盲diktor-Korrektor-Verfahren p. 188
7.8 Systeme von Differentialgleichungen p. 190
7.9 Was wir nicht erw盲hnt haben p. 195
7.10 Aufgaben p. 196
8 Numerische Verfahren f眉r Randwertprobleme p. 199
8.1 Approximation von Randwertproblemen p. 202
8.1.1 Approximation mit finiten Differenzen p. 202
8.1.2 Approximation mit finiten Elementen p. 204
8.2 Finite Differenzen in zwei Dimensionen p. 207
8.2.1 Konsistenz und Konvergenz p. 214
8.3 Was wir nicht erw盲hnt haben p. 216
8.4 Aufgaben p. 216
9 L枚sung der Aufgaben p. 219
9.1 Kapitel 1 p. 219
9.2 Kapitel 2 p. 221
9.3 Kapitel 3 p. 227
9.4 Kapitel 4 p. 231
9.5 Kapitel 5 p. 236
9.6 Kapitel 6 p. 241
9.7 Kapitel 7 p. 245
9.8 Kapitel 8 p. 253
Literaturverzeichnis p. 259
Index der MATLAB-Programme p. 263
Index p. 265
1.1 Reelle Zahlen p. 1
1.1.1 Wie wir sie darstellen p. 2
1.1.2 Wie wir mit Floating-Point-Zahlen rechnen p. 4
1.2 Komplexe Zahlen p. 6
1.3 Matrizen p. 8
1.3.1 Vektoren p. 12
1.4 Reelle Funktionen p. 14
1.4.1 Nullstellen p. 15
1.4.2 Polynome p. 17
1.4.3 Integration und Differentiation p. 19
1.5 Irren ist nicht nur menschlich p. 21
1.5.1 Sprechen wir 眉ber Kosten p. 24
1.6 Einige Worte zu MATLAB p. 27
1.6.1 MATLAB-Statements p. 29
1.6.2 Programmieren in MATLAB p. 31
1.7 Was wir nicht erw盲hnt haben p. 35
1.8 Aufgaben p. 35
2 Nichtlineare Gleichungen p. 37
2.1 Das Bisektionsverfahren p. 39
2.2 Das Newton-Verfahren p. 42
2.2.1 Abbruchkriterien f眉r das Newton-Verfahren p. 44
2.3 Fixpunktiterationen p. 47
2.3.1 Wie wir die Fixpunktiteration abbrechen p. 50
2.4 Beschleunigung mit dem Aitken-Verfahren p. 51
2.5 Algebraische Polynome p. 55
2.5.1 Das Horner-Schema p. 56
2.5.2 Das Newton-Horner-Verfahren p. 58
2.6 Was wir nicht erw盲hnt haben p. 61
2.7 Aufgaben p. 62
3 Approximation von Funktionen und Daten p. 65
3.1 Interpolation p. 67
3.1.1 Polynomiale Lagrange-Interpolation p. 68
3.1.2 Chebyshev-Interpolation p. 74
3.1.3 Trigonometrische Interpolation und FFT p. 75
3.2 St眉ckweise lineare Interpolation p. 80
3.3 Approximation durch Spline-Funktionen p. 81
3.4 Das Verfahren der kleinsten Quadrate p. 84
3.5 Was wir nicht erw盲hnt haben p. 89
3.6 Aufgaben p. 90
4 Numerische Differentiation und Integration p. 93
4.1 Approximation der Ableitung p. 94
4.2 Numerische Integration p. 96
4.2.1 Die Mittelpunktsformel p. 97
4.2.2 Die Trapezformel p. 99
4.2.3 Die Simpson-Formel p. 102
4.3 Die adaptive Simpson-Formel p. 105
4.4 Was wir nicht erw盲hnt haben p. 109
4.5 Aufgaben p. 110
5 Lineare Systeme p. 113
5.1 Die LU-Faktorisierung p. 116
5.2 Pivoting p. 123
5.3 Wie genau ist die LU-Faktorisierung? p. 125
5.4 Wie man ein tridiagonales System lost p. 130
5.5 Iterative Verfahren p. 132
5.5.1 Wie man ein iteratives Verfahren konstruiert p. 133
5.6 Wann soll ein iteratives Verfahren abgebrochen werden? p. 137
5.7 Das Richardson-Verfahren p. 140
5.8 Was wir nicht erw盲hnt haben p. 143
5.9 Aufgaben p. 144
6 Eigenwerte und Eigenvektoren p. 147
6.1 Das Potenzverfahren p. 150
6.1.1 Konvergenzanalyse p. 152
6.2 Verallgemeinerung des Potenzverfahrens p. 153
6.3 Wie man den Shift berechnet p. 156
6.4 Die Berechnung aller Eigenwerte p. 158
6.5 Was wir nicht erw盲hnt haben p. 159
6.6 Aufgaben p. 160
7 Gew枚hnliche Differentialgleichungen p. 163
7.1 Das Cauchy-Problem p. 165
7.2 Das Euler-Verfahren p. 166
7.2.1 Konvergenzanalyse p. 168
7.3 Das Crank-Nicolson-Verfahren p. 172
7.4 Nullstabilit盲t p. 173
7.5 Stabilit盲t auf unbeschrankten Intervallen p. 175
7.5.1 Bereiche absoluter Stabilit盲t p. 178
7.5.2 Absolute Stabilit盲t kontrolliert St枚rungen p. 179
7.6 Verfahren h枚herer Ordnung p. 186
7.7 Pr盲diktor-Korrektor-Verfahren p. 188
7.8 Systeme von Differentialgleichungen p. 190
7.9 Was wir nicht erw盲hnt haben p. 195
7.10 Aufgaben p. 196
8 Numerische Verfahren f眉r Randwertprobleme p. 199
8.1 Approximation von Randwertproblemen p. 202
8.1.1 Approximation mit finiten Differenzen p. 202
8.1.2 Approximation mit finiten Elementen p. 204
8.2 Finite Differenzen in zwei Dimensionen p. 207
8.2.1 Konsistenz und Konvergenz p. 214
8.3 Was wir nicht erw盲hnt haben p. 216
8.4 Aufgaben p. 216
9 L枚sung der Aufgaben p. 219
9.1 Kapitel 1 p. 219
9.2 Kapitel 2 p. 221
9.3 Kapitel 3 p. 227
9.4 Kapitel 4 p. 231
9.5 Kapitel 5 p. 236
9.6 Kapitel 6 p. 241
9.7 Kapitel 7 p. 245
9.8 Kapitel 8 p. 253
Literaturverzeichnis p. 259
Index der MATLAB-Programme p. 263
Index p. 265
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