数学的思想、方法和应用

修订版前言

序

前言

绪论

§1 数学的内容

§2 数学的特点

§3 数学发展简史

第一章 数系与第一次数学危机

§1 数系

1．1 自然数与整数

1．2 有理数与无理数

1．3 实数

§2 毕达哥拉斯学派关于数的认识

§3 第一次数学危机

§4 第一次数学危机的消除

§5 反证法

习题

第二章 连分数及其在天文学上的

应用

§1 辗转相除法

.§2 连分数

2．1 引言

2．2 简单连分数和它的渐近分数

§3 连分数在天文学上的应用

3．1 为什么四年一闰，而百年又少一闰：

3．2 农历的月大月小、闰年闰月

3．3 二十四节气

3．4 闰月放在哪?

3．5 日月食

3．6 干支纪年

习题

第三章 数学命题和证明方法

§1 概念，概念的外延和内涵

§2 等价关系与分类(划分)

§3 定义

§4 公理

§5 定理

5. 1 定理的结构

5．2 定理的形式

5. 3 定理的互逆性

习题

§6 充分条件和必要条件

6．1 充分的特征

6．2 必要的特征

6．3 必要而且充分的特征

习题

§7 演绎法

§8 分析与综合

§9 归纳法

§10 数学归纳法

习题

第四章 欧氏几何与第五公设

§1 几何学的诞生

§2 几何学的研究对象和研究方法

§3 欧几里得的《原本》

§4 第五公设

§5 非欧几里得几何的诞生

§6 罗巴切夫斯基的解答

§7 非欧几何的相容性

§8 黎曼的非欧几何

§9 非欧几何诞生的意义

第五章 概率论初步

§1 随机现象

1. 1 必然现象与随机现象

1．2 随机实验

1．3 随机事件

§2 事件的关系与运算

2．1 基本事件与复杂事件

2．2 事件的集合表示，样本空间

2．3 事件的相等与包含

2．4 事件的和、积与差

2．5 对立事件

2．6 互不相容事件完备组

2．7 运算法则

习题

§3 排列与组合

习题

§4 概率

4．1 概率的概念

4．2 概率的统计定义

4．3 概率的性质

4．4 古典概型

4．5 几何概率

4．6 概率的数学定义

4．7 条件概率与乘法公式

4．8 独立性

4．9 全概率公式

4．10 逆概率公式(贝叶斯公式)

习题

§5 两个实例

5．1 色盲的遗传问题

5．2 孟德尔遗传定律

第六章 线性代数初步

§1 二元一次联立方程组与二阶行列式

§2 三元一次联立方程组与三阶行列式

习题

§3 行列式的性质

3．1 矩阵、行列式、余子式

3．2 按代数余子式展开行列式

3．3 行列式的性质

习题

§4 高斯消元法

4．1 消元法

4．2 线性方程组的增广矩阵

4．3 高斯消元法

4．4 高斯-若当消元法

习题

§5 矩阵代数

5．1 矩阵

5．2 矩阵的加法与数乘矩阵

5．3 矩阵的乘法

5．4 逆矩阵

5．5 线性方程组

习题

第七章 空间解析几何

§1 空间直角坐标系

1．1 空间直角坐标系

1．2 点的坐标

习题

§2 向量代数

2．1 标量与向量

2．2 向量的加减法

2．3 开普勒三定律

2．4 开普勒第二定律的牛顿证明

2．5 向量的数乘运算

2．6 向量在轴上的投影

2．7 向量的坐标

2．8 向量的模与方向余弦

2．9 向量的数量积

2．10 向量的叉乘

2．11 混合积

习题

§3 平面

3．1 点法式方程

3．2 一般式方程

3．3 截距式方程

3．4 两平面间的关系

习题

§4 空间中的直线

4．1 直线的参数方程

4．2 直线的标准方程

4．3 直线的一般方程

4．4 三元一次联立方程组的几何解释

习题

§5 二次曲面

5．1 图形与方程

5．2 球面

5．3 椭球面

5．4 平行截口法

5．5 椭圆抛物面

5．6 单叶双曲面

5．7 双叶双曲面

5．8 双曲抛物面

5．9 二次柱面

5．10 二次锥面

5．11 二次曲面小结

习题

第八章 函数与极限

§1 预备知识

1. 1 区间

1．2 绝对值

1．3 邻域

§2 函数

2．1 变量与常量

2．2 函数概念

2．3 单调函数

2．4 函数的奇偶性

2．5 反函数

2．6 常数函数与线性函数

2．7 基本初等函数的图形

2．8 复合函数与初等函数

§3 极限概念

3．1 抛物线下的面积

3．2 序列的极限

3．3 切线问题

3．4 函数的极限

3．5 单边极限

3．6 极限的四则运算

3．7 两个重要极限

习题

§4 再论函数与极限

4．1 函数

4．2 极限

第九章 导数

§1 引言

§2 预备知识

2．1 符号

2．2 连续性

2．3 平均变化率

习题

§3 导数概念

3．1 瞬时速度

3．2 再论切线问题

3．3 导数定义

3．4 可导与连续

§4 导数公式

4．1 常数函数的导数

4．2 函数f(x)＝x的导数

4．3 幂函数的导数

4．4 导数的四则运算

4．5 链锁法则

4．6 高阶导数

习题

§5 三角函数的导数公式

5．1 正弦函数

5．2 余弦函数

5．3 正切函数

5．4 余切函数

习题

§6 指数函数与对数函数的导数公式

6．1 对数函数

6．2 指数函数

6．3 幂函数

§7 反三角函数的导数公式

7．1 反正弦函数

7．2 反余弦函数

7．3 反正切函数

7．4 反余切函数

习题

§8 基本公式表

8．1 基本初等函数的求导公式

8．2 导数运算法则

§9 相对变化率

习题

§10 微商中值定理

§11 利用导数研究函数

11．1 函数的单调性

11．2 局部极值

11．3 曲线的凹凸

11. 4 曲线的渐近线

11．5 函数的图形

11．6 在经济学中的应用

11．7 极值的应用

习题

第十章 微分

§1 微分定义

§2 微分公式

§3 基本初等函数微分表

§4 微分的应用

习题

§5 再论导数与微分

5. 1 导数与微分的概念

5．2 导数与微分小结

第十一章 不定积分

§1 基本概念

§2 不定积分的简单运算法则

§3 基本初等函数的不定积分表

§4 第一换元积分法

习题

§5 第二换元积分法

习题

§6 分部积分法

习题

第十二章 定积分

§1 定积分的定义

1．1 面积问题

1．2 路程问题

1．3 定积分的定义

1．4 定积分的几何意义

§2 定积分的简单性质

§3 微积分基本定理

习题

§4 定积分的换元积分法与分部积分法

4．1 换元积分法

4．2 分部积分法

习题

§5 定积分的应用

5．1 如何建立积分式

5．2 平面图形的面积

5．3 旋转体的体积

5．4 平均值

5．5 变力作功

习题

§6 再论微分学与积分学

6．1 微分学

6．2 积分学

第十三章 数学模型

§1 选票分配

1．1 选举悖论

1．2 选票分配问题

1．3 亚拉巴马悖论

§2 体育训练问题

§3 指数增长与衰减问题

3．1 一个简单的微分方程

3．2 人口模型

3．3 考古学中的应用

3．4 牛顿冷却定律

3．5 范·米格伦伪造名画案

3．6 再论人口模型

3．? 新产品销售模型

习题

第十四章 数学的地位和作用

§1 数学教育

1．1 关于素质教育

1．2 数学素养

1．3 数学是思维的工具

1．4 数学与美

1．5 数学提供了有特色的思考方式

1．6 数学的特点

1．7 培养四种本领

1．8 数学与就业

1．9 当前科学发展的主要趋势

§2 自然数是万物之母

2．1 数学的重要性

2．2 古希腊的数学

§3 数学与自然科学

3．1 宇宙的和谐

3．2 物理学

3．3 生物学

§4 数学与人文科学

4．1 数学与西方政治

4．2 人口论

4．3 统计方法

§5 数学与艺术

5. 1 博里叶的功绩

5. 2 数学与绘画

5. 3 从艺术中诞生的科学

§6 笛卡儿的方法论及其影响

附录 习题答案与提示

参考书目