数学分析.第1册

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作者：郑学安，邝荣雨，刘继志等编著;北京师范大学数学科学学院主编

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ISBN：9787303111442

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简介

简介

本书这次修订有以下几个创见：第一，首次定义了赋范极限，它与一元函数极限有相同的性质，它又将各种函数极限的定义，定积分、重积分、曲线积分与曲面积分的定义，曲线弧长与曲面面积的定义，统一为一个定义，这使得学生更容易掌握定积分等较复杂的概念。第二，重新叙述了极限的直观定义，给出了从极限直观定义到极限的数学定义间的直接转化过程，使得学生更容易接受、理解和运用极限的定义。第三，强调了无穷小量理论在极限理论中的核心地位，特别是给出了Cauchy准则与一致连续的简洁的、便于理解或运用的无穷小量等价定义。第四，首次提出了微分多中值定理与局部单射定理，使得多元微分学有了基本完整的定理体系，使得学生更容易掌握多元微积分中几个重大定理的证明。第五，首次用函数语言给出了曲线、曲面、高维曲面的准确而严格的定义。第六，给出了曲面面积的严格定义，结束了长期以来曲面面积无严格的数学定义的现状。第七，用张量给出了多元泰勒公式简明易懂的表达式，由于张量是一类十分简单的多元函数，学生很容易初步掌握它。第八，首次完整地叙述了康托的集合定义，用这个康托的集合定义，很容易指出罗素悖论和其他集合论悖论的逻辑错误所在。

第1章函数与极限
1.1 函数
1.1.1 实数域
Ⅰ.常用实数集合
Ⅱ.常用逻辑符号
Ⅲ.实数集合的拓扑性质
Ⅳ.确界原理

1.1.2 函数、复合函数与反函数
Ⅰ.函数概念
Ⅱ.复合函数概念
Ⅲ.反函数概念

1.1.3 函数的初等性质
1.1.4 基本初等函数的定义与性质
1.1.5 逻辑非命题
思考题
练习题
函数小结

1.2 极限
1.2.1 极限概念
Ⅰ.数列极限
Ⅱ.函数极限
Ⅲ.无穷小量与无穷大量
思考题
练习题

1.2.2 极限性质
思考题
练习题

1.2.3 两个重要极限
Ⅰ.lim x→0sin x/x=1
Ⅱ.lim x→∞(1+1/x)x=e
练习题
综合练习题
极限小结

1.2.4 极限的统一定义
Ⅰ.相对极限
Ⅱ.赋范极限

1.2.5 集合论基础
Ⅰ.集合的定义
Ⅱ.集合的初等性质与运算
Ⅲ.ZF公理系统
Ⅳ.基数

1.3 连续
1.3.1 连续与间断
思考题
练习题

1.3.2 连续函数的性质
思考题
练习题
连续小结
复习参考题

第2章一元微积分
2.1 导数
2.1.1 导数与微分概念
Ⅰ.导数，高阶导数
Ⅱ.微分
Ⅲ.高阶微分
思考题
练习题

2.1.2 微分法则
思考题
练习题

2.1.3 导数的应用
Ⅰ.函数的极值与最值
Ⅱ.函数的单调性
Ⅲ.极值判别法
Ⅳ.洛必达法则
Ⅴ.函数作图
思考题
练习题
导数小结

2.2 不定积分
2.2.1 不定积分概念
思考题
练习题

2.2.2 基本积分方法
Ⅰ.基本积分表与简单积分法
练习题
Ⅱ.换元积分法
练习题
Ⅲ.分部积分法
思考题
练习题

2.2.3 几个初等函数类的积分方法
Ⅰ.有理函数积分法
Ⅱ.三角函数有理式积分法
Ⅲ.某些根式的有理式积分法
练习题
综合练习题
不定积分小结

2.3 黎曼积分
2.3.1 定积分概念与性质
思考题
练习题

2.3.2 微积分基本定理
思考题
练习题

2.3.3 定积分的计算方法
思考题
练习题

2.3.4 定积分的应用
Ⅰ.定积分在几何上的应用
Ⅱ.定积分在其他方面的应用
思考题
练习题

2.3.5 广义积分及计算
思考题
练习题

2.3.6 定积分的数值计算
Ⅰ.梯形公式
Ⅱ.抛物线公式
练习题
黎曼积分小结
复习参考题

第3章多元微积分初步
3.1 偏导数
3.1.1 多元数值函数
3.1.2 可微性与偏导数
3.1.3 复合函数微分法
练习题

3.2 重积分
3.2.1 二重积分
3.2.2 三重积分
3.2.3 重积分的应用
Ⅰ.质量与重心
Ⅱ.转动惯量
Ⅲ.引力
练习题
多元微积分小结
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