矩阵计算的理论与方法

第一章 矩阵知识的复习和补充

1 主要记号和定义

2 schur分解和奇异值分解

2．1 schur分解

2．2 奇异值分解

3 向量范数和矩阵范数

3．1 向量范数

3．2 矩阵范数

3．3 谱半径和矩阵序列的收敛性

4 正交投影和子空间之间的距离

4．1 正交投影

4．2 子空间之间的距离

5 非负矩阵

5．1 基本概念和性质

5．2 perron-frobenius定理

5．3 非负矩阵的谱

5．4 birkhoff定理

6 有关矩阵特征值的几个重要定理

6．1 一般方阵的bauer-fike定理

6．2 正规矩阵的hoffman-wielandt定理

.6．3 hermite矩阵的极小极大定理

习题

第二章 矩阵计算概论

1 矩阵计算的基本问题和来源

1．1 基本问题

1．2 膜的、振动

1. 3 弹性系统的振动

1．4 多元线性回归分析

2 病态问题和数值稳定性

2．1 矩阵计算问题的病态和良态

2．2 算法的数值稳定性

3 矩阵计算的基本工具

3．1 householder变换

3．2 givens变换

3．3 gauss变换

习题

第三章 线性方程组的直接解法

1 线性方程组的条件数

2 墓本解法的回顾

2．1 gauss消占法

2．2 cholcsky分解法

3 对称不定方程组的解法

4 vandermonde方程组的解法

5 toeplitz方程组的解法

5．1 yule-walkcr方程组

5．2 一般右端项的toeplitz方程组

5．3 toeplitz矩阵的逆

6 条件数的估计和迭代改进

6．1 条件数的估汁

6．2 迭代改进

习题

第四章 线性方程组的迭代解法

1 迭代法概述

2 基本迭代法

3 正定矩阵和某些迭代法的收敛性

4 h矩阵和某些迭代法的收敛性

5 多项式加速

习题

第五章 共轭梯度法

1 最速下降法

2 二次泛函的几何性质

3 共轭梯度法及其基本性质

4 实用共轭梯度法及其收敛性

4．1 实用共轭梯度法

4．2 收敛性分析

5 预优共轭梯度法

6 不完全分解预优技巧

6．1 松弛不完全lu分解

6．2 松弛不完全cholesky分解

6．3 分块不完全cholesky分解

7 求解非正定线性方程组的共轭梯度法

7．1 正规化方法

7．2 广义共轭剩余法

习题

第六章 最小二乘问题的数值解法

1 最小二乘解的数学性质

1．1 最小二乘解的特征

1．2 最小二乘解的一般表示

1．3 最小二乘解的扰动分析

2 求解满秩ls问题的数值方法

2．1 正规化方法

2．2 正交化方法

3 求解亏秩ls问题的数值方法

8．1 列主元qr分解法

3．2 奇异值分解法

8．3 数值秩的定义和确定方法

4 求解ls问题的迭代法

4．1 基于正规化方程组的古典迭代法

4．2 基于等价方程组的sor和ssor迭代法

5 完全最小二乘问题

习题

第七章 求解特征值问题的qr方法

1 特征值和不变子空间的条件数

1．1 特征值的条件数

1．2 不变予空间的条件数

2 双重步位移的qr算法

2．1 qr算法的基本思想

2．2 实schur标准形

2．3 上hessenberg化

2．4 双重步位移的qr迭代

2．5 双重步位移的qr算法

3 特征向量和不变子空间的计算

3．1 特征向量的计算

3．2 不变子空间的计算

4 对称qr方法

5 奇异值分解的计算

6 分而治之法

6．1 分割

6．2 胶合

习题

第八章 求解实对称特征值问题的同伦方法

1 同伦算法概述

2 同伦的构造和性质

3 同伦路径的数值追踪

3．1 预估

3．2 校正

3．3 核查

3．4 同伦算法

习题

第九章 lanczoos方法

1 lanczos迭代及其基本性质

2 kailiel-paige-saad理论

3 lanczos算法

4 求解对称线性方程组的lanczos方法

5 求解非对称线性方程组的广义极小剩余法

习题

第十章 求解jacobi矩阵特征值反问题的数值方法

1 基本问题和定性理论

2 数值方法

2．1 lanczos方法

2．2 正交约化法

3 相关问题

3．1 秩1修改问题

3．2 广对称jacobi矩阵的特征值反问题

3．3 对角矩阵与秩1矩阵之和的特征值

习题

参考文献

索引