Elementary numerical analysis

第1章　泰勒多项式.　1

1.1　泰勒多项式　1

1.2　泰勒多项式的逼近误差　8

1.3　多项式求值　18

第2章　误差和计算机算术运算　26

2.1　浮点数　26

2.1.1　浮点表示的精度　29

2.1.2　舍入和截断　30

2.1.3　浮点算术运算程序设计的结果　31

2.2　误差：定义、来源和例题　34

2.2.1　误差的来源　36

2.2.2　有效数字损失的误差　38

2.2.3　函数求值中的噪声　41

2.2.4　下溢误差和上溢误差　42

2.3　误差的传播　45

2.4　求和　51

2.4.1　舍入与截断的比较　52

2.4.2　循环误差　54

2.4.3　内积的计算　55

第3章　求根　58

.3.1　对分法　59

3.2　牛顿法　64

3.2.1　误差分析　67

3.2.2　误差估计　69

3.3　割线法　73

3.3.1　误差分析　75

3.3.2　牛顿法和割线法的比较　77

3.3.3　matlab函数fzero　78

3.4　不动点迭代　79

3.4.1　艾特肯误差估计和外推　85

3.4.2　高阶迭代公式　87

3.5　病态的求根问题　90

第4章　插值和逼近　97

4.1　多项式插值　97

4.1.1　线性插值　98

4.1.2　二次插值　99

4.1.3　高次插值　101

4.1.4　差商　102

4.1.5　差商的性质　104

4.1.6　牛顿差商插值公式　106

4.2　多项式插值的误差　114

4.2.1　另一个误差公式　116

4.2.2　误差的性态　117

4.3　插值样条函数　121

4.3.1　样条插值　122

4.3.2　插值的自然三次样条的构造　123

4.3.3　其他插值样条函数　125

4.3.4　matlab程序　spline　　127

4.4　最佳逼近问题　132

4.5　切比雪夫多项式　137

4.5.1　三项递推关系　138

4.5.2　最小取值范围性质　139

4.6　近似极小极大逼近方法　141

4.7　最小二乘逼近　148

4.7.1　勒让德多项式　150

4.7.2　求解最小二乘逼近　152

4.7.3　一般的最小二乘逼近　153

第5章　数值积分和数值微分　156

5.1　梯形法和辛普森法　156

5.2　误差公式　168

5.2.1　梯形法误差的渐近估计　169

5.2.2　辛普森法的误差公式　171

5.2.3　理查森外推法　173

5.2.4　周期被积函数　174

5.3　高斯数值积分　180

5.4　数值微分　192

5.4.1　利用插值的微分　193

5.4.2　待定系数法　194

5.4.3　函数值误差的影响　196

第6章　线性方程组数值求解　200

6.1　线性方程组　200

6.2　矩阵算术运算　204

6.2.1　算术运算　205

6.2.2　初等行运算　208

6.2.3　矩阵的逆　209

6.2.4　矩阵代数法则　211

6.2.5　线性方程组的可解性理论..　213

6.3　高斯消元法　218

6.3.1　部分选主元　222

6.3.2　逆矩阵的计算　225

6.3.3　运算量　228

6.4　　lu分解　233

6.4.1　高斯消元法的紧凑变形　235

6.4.2　三对角方程组　237

6.4.3　解线性方程组的matlab内置函数　240

6.5　解线性方程组中的误差　243

6.5.1　残差校正方法　245

6.5.2　解线性方程组中的稳定性　246

6.6　迭代法　251

6.6.1　雅可比法和高斯——赛德尔法　251

6.6.2　一般的迭代格式　253

6.6.3　残差校正方法　257

第7章　数值线性代数：续篇　264

7.1　最小二乘数据拟合　264

7.1.1　线性最小二乘逼近　266

7.1.2　多项式最小二乘逼近　267

7.2　本征值问题　275

7.2.1　特征多项式　277

7.2.2　对称矩阵的本征值　279

7.2.3　非对称本征值问题　280

7.2.4　幂法　282

7.2.5　幂法的收敛性　283

7.2.6　matlab本征值计算　286

7.3　非线性方程组　291

7.3.1　牛顿法　292

7.3.2　一般方程组的牛顿法　296

7.3.3　修正牛顿法　299

第8章　常微分方程数值解　303

8.1　常微分方程理论简介　303

8.1.1　一般可解性理论　307

8.1.2　初值问题的稳定性　307

8.1.3　方向场　310

8.2　欧拉方法　312

8.3　欧拉方法的收敛性分析　318

8.3.1　渐近误差分析　322

8.3.2　理查森外推　323

8.4　数值稳定性,隐式方法　325

8.4.1　向后欧拉方法　327

8.4.2　梯形方法　331

8.5　泰勒方法和龙格——库塔方法　337

8.5.1　龙格——库塔方法　340

8.5.2　误差预报和控制　343

8.5.3　matlab内置函数　346

8.6　多步法　350

8.7　微分方程组　357

8.7.1　高阶微分方程　359

8.7.2　方程组的数值方法　361

8.8　两点边值问题的有限差分法　365

第9章　偏微分方程的有限差分法　373

9.1　泊松方程　374

9.2　一维热传导方程　386

9.2.1　半离散化　386

9.2.2　显式全离散化　387

9.2.3　隐式全离散化　392

9.3　一维波动方程　398

附录a　中值定理　406

附录b　数学公式　412

b.1　代数　412

b.2　几何　413

b.3　三角　414

b.4　微积分　417

附录c　数值分析软件包　420

c.1　商用软件包　420

c.2　共享软件包　420

c.3　交互的数值计算环境　423

c.4　符号计算环境　424

c.5　数学软件的文献　424

附录d　matlab简介　425

附录e　二进制数系　432

e.1　从十进制到二进制的转换　434

e.2　十六进制数系　435

部分习题答案　438

参考文献　456

索引...　458