高等数学一题多解200例选编[电子资源.图书]

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第一章 一元函数及其微分学
1 设函数f(x)的定义域为（-∞，+∞），且多项式〓满足f(g(x))=g(f(x))，其中a,b,c为任意实数。求f(x)。
2 设〓，试求f(-x)。
3 试证明〓。
4 用定义证明〓。
5 求〓。
6 试证〓收敛。
7 求〓。
8 设〓，其中〓具有连续偏导数，求〓。
9 已知方程4y-x=(x+y)ln(x+y)确定了y是x的函数，求〓。
10 求函数〓的导数，其中u(x),v(x)为可导函数。
11 求函数〓在x=0处的n阶导数〓。
12 设函数f(x)在（-∞，+∞）内可导，且对任意的〓和〓有〓。求证：〓。
13 求〓。
14 求〓，其中n为给定的正整数。
15 已知〓，试确定a、b的值。
16 求〓。
17 求〓。
18 由拉格朗日中值定理，对任意的x≠0，都存在θ∈（0，1），使得〓。证明〓。
19 求〓。
20 设〓。求证
21 叙述并证明拉格朗日中值定理。
22 设f(x)在[a,b]上可导(a＜b),f(a)=f(b)。证明存在ξ(a＜ξ＜b)，使f(a)-f(ξ)=ξf(ξ)。
23 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，0＜a＜b。证明〓。使〓。
24 设f(x)在[o,a]上二阶可导，且f(0)=0。〓。求证〓在(0,a]上单调下降。
25 在点〓附近用一个x的二次多项式〓来近似函数〓，使其差为〓的高阶无穷小。
26 设f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)≠0，〓。若af(h)+bf(2h)-f(0)在h→时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值。
27 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=1。试证存在ξ，η∈(a,b)，使得〓。
28 设〓，且〓。证明f(x)≥x。
29 证明当〓时，〓。
30 设0＜a＜b，试证不等式〓。
31 试证当x＞0时，〓。
32 设f(x)在〓点的某邻域内有二阶连续的导数，且当h充分小时，〓恒成立，试证〓。
33 设y=f(x)在（-1，1）内具有二阶连续导数，且〓。试证：（1）对于（-1，1）内的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈（1，0），使〓成立。（2）〓。
34 设f(x)，g(x)都是可微函数，且当x≥a时，〓。求证当x≥a时，有〓。
35 证明当x≠0时，〓。
36 设a＞0，方程〓有几个实根？
37 求心形线γ=1-cosθ在点〓处的切线方程。
38 设函数f(x),g(x)在区间[a,b]内具有二阶导数，且满足〓,x∈(a,b),f(b)=g(b),〓。求证对（a、b）内任意一点x，有f(x)＞g(x)。
39 证明〓。
40 证明当x＞0时，〓恒成立。
41 证明当〓时，〓。
42 证明〓。
43 假设函数f(x)在[a，∞]上连续，〓在（a，∞）内存在且大于零，记〓，证明F(x)在（a，∞）内单调增加。
44 一正圆锥外切于一半径为a的球，求圆锥的最小体积。
45 在半径为a的半圆内，作平行于直径AD的弦BC。BC为何值时，梯形ABCD的面积最大？
46 求椭圆〓在第一象限中的切线，使它被坐标轴所截的线段最短。
47 设有边长为2a和2b的矩形。试求外接于该矩形的椭圆的最小面积，假设椭圆对称轴与矩形两边平行。
第二章 一元函数积分学
1 求〓。
2 求〓。
3 求〓。
4 求〓。
5 求〓。
6 求〓。
7 求〓。
8 求〓。
9 求〓。
10 求〓。
11 求〓。
12 求〓。
13 求〓。
14 求〓。
15 求〓。
16 求〓。
17 求〓。
18 求〓。
19 求〓。
20 求〓。
21 求〓。
22 求〓。
23 求〓。
24 求〓。
25 计算〓。
26 计算〓。
27 计算〓。
28 计算〓。
29 计算〓。
30 设f(x)在（-∞，+∞）满足f(x)=f(x-π)+sinx，在[0，π]中，f(x)=x。计算〓。
31 设f(x)连续，〓，求f（7）。
32 设f(x),g(x)在区间[a,b]上均连续(a ＜b)，证明〓。
33 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)＞0，利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点ξ∈[a，b]，使〓。
34 计算〓。
35 广义积分〓是否收敛？为什么？
36 计算〓。
37 设函数f(x)在[a,b]上连续(a＜b)，〓。试证至少存在不同的两点〓，使得〓。
38 设f(x)在[0，1]上连续且单调不增，证明当0≤μ≤1时，有〓。
39 设f(x)为在闭区间[A，B]上连续的函数，且有A＜a＜b＜B。试证〓。
40 设f(x)在闭区间[0，1]上连续，且非负单调递减。证明对于满足0＜a＜b＜1的任何a、b有〓。
41 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且单调减少，证明不等式〓。
42 设函数f(x)在[a,b]上连续且可导，f(a)=0，试证明〓，其中〓。
43 求证〓在（-∞，+∞）上有界。
44 设〓。试证明F(x)为正常数。
45 设曲线〓，y=1和〓围成平面图形D。试求平面图形D绕x轴旋转而成的旋转体的体积。
46 求曲线〓与x轴所围成的平面图形绕y轴旋转而成的立体体积。
47 设曲线〓，y=1和x=0围成平面图形为D，试求平面图形D绕x=1旋转而成的旋转体的体积。
第三章 向量代数与空间解析几何
1 设a={1，0，0}，b={0，1，-2}，c={2，-2，1}。试在a与b确定的平面内，求一个模长为3的向量q，使q⊥c。
2 已知a={1，0，1}，b={1，1，0}。求c，使c⊥a，c⊥b且〓。
3 已知A（1，2，3），B（0，1，2），C（1，0，2），求〓。
4 已知平面过三点〓，〓，〓，求此平面方程。
5 求两个平面〓和〓所构成的二面角的平分面方程。
6 已知〓的方向角分别为α，β，γ，求过〓且垂直〓的平面方程。
7 已知直线〓，〓。证明〓，并求〓和〓确定的平面方程。
8 已知A（1，1，1），B（2，0，3），C（3，-1，5），D（1，2，3）。A、B、C、D四点是否共面？是否共线？
9 求过直线〓且与平面π:x+y-z=0垂直的平面方程。
10 设平面π通过点P（1，1，2），且与平面〓垂直，又与直线〓平行。求平面π的方程。
11 将直线方程〓化为对称式方程和参数式方程。
12 求过点M（2，-5，3）且和平面〓及〓平行的直线方程。
13 求过点P（1，1，1）且与直线〓垂直相交的直线方程。
14 过点A（1，2，0）作一直线，使其与z轴相交，且和平面π:4x+3y-2z+1=0平行，求此直线方程。
15 求过点A（1，1，1）且和两直线〓相交的直线方程。
16 求直线〓在平面π：x-y+2z-1=0上的投影直线〓的方程。
17 求直线〓关于平面π:x+y+z+1=0对称的直线方程。
18 求两异面直线〓和〓间的距离。
19 求过两球面的交线〓的正圆柱面的方程。
20 证明直线〓在曲面〓上。
第四章 多元函数及其微分学
1 证明〓。
2 求〓。
3 设〓，求〓。
4 设〓，求〓。
5 设〓，求〓。
6 设〓，求〓。
7 设〓，其中〓是可微函数，求〓。
8 设z=f(x,y)是由方程〓所确定的二元函数，求dz。
9 设z是由方程〓所确定的x与y的隐函数，求〓。
10 设z=f(x,x+z,yz)。其中f具有连续的偏导数，求dz。
11 设u=x+y，v=x-y，w=x+y+z，其中w=w(u,v)具有连续的二阶偏导数，试变换方程〓。
12 设函数z=f(u)，方程〓确定u是x,y的函数，其中f(u),φ(u)可微，p(t),φ(u)连续，φ(u)≠1求〓。
13 设F(x-az,y-bz)=0确定z是x，y的函数，F是可微函数。证明〓。
14 设u=f(x,y,z),y=φ(x,t),t=φ(x,z)，其中f，φ,φ均有连续的偏导数，求〓。
15 设〓，求〓。
16 设y(x)由方程组〓确定，求〓（假定隐函数存在定理条件满足）。
17 求曲线〓在点（1，1，1）处的切线及法平面方程。
18 求曲面x=u+v，〓，z=u-v在u=v=0处的切平面方程。
19 求点M（1，2，0）到直线〓的最短距离。
20 求曲线〓与直线x-y-1=0之间的最短距离。
21 在椭圆〓上求一点，使其到直线2x+3y-6=0的距离最短。
22 求函数u=xyz在约束条件〓下的极值。
第五章 多元函数积分学
1 计算二重积分〓，其中D是由直线x=-2,y=0,y=2以及曲线〓所围成的平面区域。
2 设函数f(x)在区间[0，1]上连续，并设〓，求〓。
3 计算〓。
4 计算〓，其中〓。
5 计算二重积分〓，其中〓。
6 计算〓。
7 求由两同心圆〓和〓所围的在第一象限内的四分之一圆环板的重心，其中板的面密度ρ为常数。
8 求〓，其中〓。
9 计算由旋转抛物面〓和平面〓所围成的空间区域〓的体积。
10 计算〓，其中〓。
11 设f(x)连续，〓。求〓。
12 设f(x)在[0，1]上连续，试证〓。
13 计算〓，其中Ω为球体〓在第一卦限的部分。
14 设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为2a、2b。用过此柱体底面的短轴且与底面成α角〓的平面截此柱体，得一楔形体，求此楔形体的体积V。
15 计算〓，其中L是曲面〓与平面y+z=1的交线。
16 计算〓，其中L为圆周〓，直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界。
17 求〓，其中〓。
18 计算〓，L：从点A(-R,0)沿上半圆周〓到点B(R,0)。
19 设曲线积分〓与路径无关，其中φ(x)具有连续的导数，且φ（0）=0，计算〓的值。
20 计算〓，其中L是以点（1，0）为中心、半径为R的圆周（R＞1），取逆时针方向。
21 计算〓，其中〓，取正向（逆时针方向）。
22 计算〓，其中C是曲线〓，从z轴正向往z轴负向看C的方向是顺时针的。
23 设函数f(x)在（-∞，+∞）内具有一阶连续导数，L是上半平面(y＞0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a,b)，终点为(c,d),记〓。
24 求在圆柱面〓上的介于平面z=0与曲面〓之间部分的面积。
25 计算〓，其中L是平面x+y+z=2与柱面〓的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向。
26 计算曲面积分〓，其中∑为上半球面〓的上侧。
27 计算曲面积分〓，其中∑为球面〓的外侧。
28 计算〓，其中∑为下半球面〓的上侧，a为大于零的常数。
29 计算〓，其中∑为球面〓的外侧，cosα、cosβ、cosγ是其外法线向量的方向余弦。
30 计算〓，〓，取外侧。
31 求椭圆柱面〓位于xOy平面上方和平面z=y的下方的那部分的面积。
32 计算〓，其中〓，∑是锥面〓在xOy面上方的部分，取上侧。
33 试证〓，其中∑是球面〓。
第六章 无穷级数 常微分方程
1 判别级数〓的敛散性。
2 判别级数〓的敛散性。
3 判别级数〓的敛散性。
4 设〓且〓收敛，试证〓收敛。
5 试证〓收敛，并求其和。
6 求幂级数〓的收敛半径。
7 求级数〓的收敛域。
8 求函数项级数〓的收敛域。
9 求〓的和函数。
10 求〓的和函数。
11 把函数〓在x=1处展成泰勒级数。
12 将〓展成x的幂级数。
13 把〓展成以2π为周期的傅里叶级数。
14 将f(x)=x(1≤x≤2)在[1，2]上展成以2为周期的傅里叶级数。
15 设函数〓，将f(x)展开为以2π为周期的傅里叶级数。
16 求微分方程〓的通解。
17 求微分方程〓的通解。
18 求微分方程〓满足初始条件〓的特解，其中f(x)是连续函数。
19 求微分方程〓满足初始条件〓的特解。
20 求微分方程（2y+x)dx+(2x+1)dy=0的通解。
21 求微分方程〓的通解。
22 求微分方程〓的通解。
23 求微分方程〓的通解。
24 求微分方程〓的通解。
25 求微分方程〓的通解。
26 求微分方程〓的通解。
27 求解初值问题〓。
28 求微分方程〓满足初始条件〓的特解。
29 求微分方程〓的通解。
30 设〓（〓为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，试求该方程。
31 从海平面向海中沉放一种探测仪，按要求，需确定仪器下沉深度y与速度v之间的函数关系。仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，设其质量为m，体积为V，海水比重为ρ，下沉阻力与速度成正比，比例系数为K，试建立y与v所满足的微分方程，并求y=y(v)。
参考文献
CC8
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