数学物理方程

第一章 引言
1 方程的推导
1.1 均匀弦的横振动与波动方程
1.2 热传导方程
1.3 Laplace方程和Poisson方程
练习1-1
2 偏微分方程的一些定义
练习1-2
3 定解条件与定解问题
3.1 弦振动方程的初始条件和边界条件
3.2 热传导方程的初始条件和边界条件
3.3 定解问题的提法
练习1-3
4 两个自变量的二阶线性方程的分类与化简
4.1 两个自变量的二阶线性方程的分类
4.2 两个自变量的二阶线性方程的化简
练习1-4
5 多个自变量的二阶线性方程的分类
练习1-5
6 定解问题的适定性
6.1 定解问题的适定性概念
6.2 不适定问题举例
6.3 不适定问题有待研究
习题1
第二章 波动方程
1 弦振动方程的初值问题
1.1 无界弦的自由振动 d Alembert公式
1.2 波的传播 依赖区域决定区域和影响区域
1.3 迭加原理
1.4 无界弦的受迫振动
1.5 齐次化原理(Duhamel原理)
练习2-1
2 高维波动方程的初值问题
2.1 三维齐次波动方程初值问题的球平均法
2.2 三维非齐次波动方程初值问题的解推迟势
2.3 二维波动方程初值问题的降维法
2.4 依赖区域 决定区域 影响区域与特征锥
2.5 三维波与二维波在传播上的区别 Huygens原理 波的弥散
练习2-2
3 半无界弦的混合问题
练习2-3
4 有界域上混合问题的分离变量法
4.1 齐次边界条件下有界弦的自由振动 分离变量法
4.2 解的存在性
4.3 解的物理意义
4.4 齐次定解条件下有界弦的受迫振动 齐次化原理
4.5 非齐次边界条件下非齐次方程的混合问题边界条件的齐次化
4.6 分离变量法的进一步应用举例——矩形膜的横振动
练习2-4
5 波动方程定解问题解的唯一性与对初始条件的连续依赖性
5.1 二维波动方程的能量积分 能量不等式 混合问题解的唯一性与对初始条件的连续依赖性
5.2 波动方程初值问题解的唯一性与对初始条件的连续依赖性
习题2
第三章 热传导方程
1 有界域上的混合问题和分离变量法
1.1 齐次边界条件下齐次热传导方程混合问题的分离变量法
1.2 解的存在性
1.3 齐次决定解条件下非齐次热传导方程的混合问题 齐次化原理
1.4 边界条件的齐次化
练习3-1
2 Fourier变换和Laplace变换
2.1 Fourier积分和Fourier变换
2.2 Laplace变换
2.3 Fourier变换和Laplace变换的基本性质
练习3-2
3 Fourier变换和Laplace变换的应用
3.1 应用Fourier变换解初值问题
3.2 解的存在性
3.3 应用Laplace变换解半无界域上的混合问题
4 极值原理与解的唯一性和稳定性
4.1 极值原理
4.2 混合问题解的唯一性和稳定性
4.3 初值问题解的唯一性和稳定性
习题3
第四章 Laplace方程
1 定解问题的提法
练习4-1
2 分离变量法
2.1 矩形区域上的Dirichlet问题
2.2 圆上的Dirichlet问题
2.3 Poisson方程的Dirichlet问题
练习4-2
3 基本解 Green公式与Green函数
3.1 基本解
3.2 Green公式与调和函数的积分表达式
3.3 Green函数
练习4-3
4 调和函数的基本性质 边值问题 解的唯一性和稳定性
4.1 三维空间区域上调和函数的基本性质
4.2 边值问题解的唯一性和稳定性
4.3 调和函数的另外一些重要性质
5 一般区域上的Dirichlet问题解的存在证明(Perron方法)
5.1 上(下)调和函数与上(下)函数及其性质
5.2 上函数集的下确界的调和性
5.3 Dirichlet问题的解
6 Poisson方程的Dirichlet问题的解
习题4
附录Ⅰ1 Cauchy-Ковалевская定理
1 实值解析函数与优函数
2 常微分方程的解析解
3 Cauchy-Кова.левская定理——一阶偏微分方程情况
4 Cauchy-Кова.левская定理——高阶偏微分方程情况
附录Ⅱ 特殊函数(一)Bessel函数
1 Bessel方程的引入
2 Bessel方程的解
3 Bessel函数的递推公式
4 Bessel函数的生成函数和积分形式
5 Bessel函数的零点
6 Bessel函数的正交性
7 Bessel函数对边值问题的应用
附录Ⅱ2 特殊函数(二)Legendre多项式
1 Legendre方程的引入
2 Legendre方程的求解
3 Legendre多项式
4 Legendre多项式的Rodrigues表达式
5 Pn(X)的生成函数
6 Legendre多项式Pn(X)的正交性
7 Legendre多项式的应用——球形域内的电势分布
附录Ⅲ Fourier变换表和Laplace变换表
附录Ⅳ 历史简介
1 弦振动方程与分离变量法
2 热传导方程与Fourier级数
3 Laplace方程与势论
4 Cauchy-Ковалевская定理
5 Fourier积分
6 新发展素描
文献
练习与习题参考答案与提示
索引