解析几何

前言符号说明第 1章向量与坐标 1
1.1向量的定义、加法及数乘 1

1.1.1向量的定义 1

1.1.2向量的加减法 2

1.1.3数乘 3
1.2向量组的线性相关性 6

1.2.1线性相关与共线、共面 7

1.2.2应用和例子 8

1.3标架与坐标 11

1.3.1向量和点的坐标 11

1.3.2用坐标作向量的线性运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4数量积 15

1.4.1数量积的定义和性质 15

1.4.2用坐标计算数量积 17

1.4.3方向角和方向余弦 18

1.5向量积 19

1.5.1向量积的定义和性质 19
1.5.2用坐标计算向量积 21

1.6混合积和双重向量积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.1混合积的定义和性质 23

1.6.2用坐标计算混合积 24



1.6.3双重向量积的定义和计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26补充材料：极坐标与方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28


第 2章平面与直线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1平面方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1平面的点位式方程 33

2.1.2平面的一般方程 34

2.1.3平面的点法式方程 35

2.2直线方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1直线的点向式方程 37

2.2.2直线的一般方程 38

2.3线、面间的位置关系 40

2.3.1两平面的位置关系 40

2.3.2两直线的位置关系 40

2.3.3直线与平面的位置关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4点、线、面间的距离 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.1点到直线的距离 47

2.4.2点到平面的距离 47

2.4.3两直线间的距离 48

2.5线、面间的夹角 51

2.5.1直线与直线的夹角 51

2.5.2直线与平面的夹角 52

2.5.3平面与平面的夹角 53

2.6平面束 54阅读材料：几何学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57第 3章常见曲面 62
3.1曲面与空间曲线. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
3.1.1曲面的方程 62

3.1.2空间曲线的方程 64

3.2柱面与投影曲线. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66
3.2.1柱面的定义和方程 66

3.2.2与坐标轴平行的柱面 67

3.2.3圆柱面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68
3.2.4投影柱面和投影曲线 69

3.3锥面和旋转曲面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72
3.3.1锥面的方程 72

3.3.2旋转曲面的方程 74

3.4二次曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4.1椭球面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79
3.4.2双曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80
3.4.3抛物面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
3.5直纹面 83

3.5.1直纹面的定义 83

3.5.2直纹面的判定 84

3.6作简图 88

3.6.1坐标系常用的三种画法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.6.2作简图的步骤 88
实践材料：几何模型的制作 92
第 4章二次曲面的分类 99

4.1坐标变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.1.1平面坐标变换 99

4.1.2空间坐标变换 101

4.1.3本章的主要结果 104

4.2二次曲面的渐近方向和中心. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
4.2.1二次曲面的渐近方向 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.2.2二次曲面的中心 108

4.3二次曲面的对称面与主径面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111
4.3.1径面与奇向 111

4.3.2主径面和主方向 114

4.4二次曲面的化简与分类 116

4.5二次曲面的切线与切平面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120阅读材料：二次型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124附录 1行列式与 Cramer法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126附录 2实对称矩阵和正交矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131附录 3二次曲线的分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133